இந்திய சோதிடத்தில் புள்ளியியல் கட்டுமானங்கள்: பாகம் 3. புள்ளியியல் மாதிரிகள் (Statistical Models) அறிமுகம்

சோதிடத்தில் புள்ளியியல் மாதிரிகள் (Astrology as a Statistical Modeling framework)

சோதிடத்தில் புள்ளியியல் மாதிரிகள் – இந்திய சோதிடத்தில் புள்ளியியல் கட்டுமானங்கள் தொடரின் மூன்றாம் பாகம். புள்ளியியல் பக்கத்தில் இருந்து எழுப்பப்படும் கடைசி பாகம்.

இந்த தொடரின் முதல் பாகத்தில் சோதிடத்தினை, அதன் விதிகளை ஏன் உறுதிப்படுத்திக்கொள்ள வேண்டும் என்று பார்த்தோம். இரண்டாம் பாகத்தில் சில அடிப்படை புள்ளியியல் கருதுகோள்களையும், தெரிந்த ஒன்றைக் கொண்டு அதனுடன் தொடர்புடைய தெரியாத ஒரு விடயத்தைப் பற்றி எவ்வாறு கணிப்பது என்று சில வழிமுறைகளை ஒரு உதாரணத்தோடு பார்த்தோம்.

இந்த மூன்றாம் பாகத்தில், ஒரு புள்ளியியல் மாதிரி (statistical or econometric model) தரவுகளில் இருந்து எவ்வாறு கட்டமைக்கப்படுகிறது, அதன் விளைபொருட்கள் யாவை மற்றும் அவற்றின் பயன் என்ன என்பது போன்ற விடயங்களை பார்க்கலாம். புள்ளியியல் பக்கத்தில் இருந்து எழுதப்படும் கடைசி பாகம் இது என எடுத்துக்கொள்ளலாம்.

இந்த பாகம் யாருக்கு பயன் தரும்?

இந்த பாகம் புள்ளியியலில் பரிச்சயம் இல்லாத சோதிடர்களுக்கு புரிவது மிகவும் கடினம் என்று உணர்ந்தே எழுதுகிறேன். இந்த பாகத்தின் நோக்கம் உங்களுக்கு ஒரு பரிச்சயத்தை ஏற்படுத்துவது மட்டுமே. உங்களுக்கு தொழில்நுட்ப ரீதியாக (டெக்னிகலாக) இந்த கட்டுரை புரியவேண்டும் என்ற அவசியம் இல்லை. இக்கட்டுரையின் சாராம்சம் மட்டும் உங்களுக்கு புரிந்தால் போதும். அவற்றை இறுதியில் தொகுத்து தருவேன்.

புள்ளியியல் பரிச்சயம் உள்ளவர்களுக்கு மற்றும் அந்த துறையில் வேலை பார்த்து வருபவர்களுக்கு இந்த பாகம் ஒரு மீள்வாசிப்பு போல அமையலாம். நீங்கள் அறிந்துள்ள விடயங்களை மீண்டும் ஒருமுறை மனதில் அசைபோடவும், புரியாமல் கடந்த சில விடயங்களை சரியாக அறிந்து கொள்ளவும் இந்த பாகம் உங்களுக்கு உதவக்கூடும்.

பெரும்பாலோனோர் தமிழில் புள்ளியியல் படித்திருக்க வாய்ப்பு இல்லை. நானும் கூட ஆங்கில வழியில்தான் பயின்றேன். அந்த மொழியில் எழுதுவது சுலபம் கூட. இருப்பினும் இனிய தாய்மொழியில் எழுதுவது போன்ற சுகம் மற்றும் கடமை வேறு எதுவும் இல்லை. எனவே தமிழ் வார்த்தைகளை தேடித்தேடி எழுதுகிறேன். இதில் பயன்படுத்தப்படும் புள்ளியியல் கலைச்சொற்களுக்கு எங்கேனும் சிறப்பான மாற்று தமிழ் வார்த்தை இருந்தால் தயங்காமல் தெரியப்படுத்தவும்.

இப்போது நேரடியாக கட்டுரைக்குள் நுழைவோம். இக்கட்டுரையின் இரண்டாம் பாகத்தில் நாம் ஒரு உதாரண கேள்வியை பார்த்தோம். ஒரு அளவிடும் பட்டையைக் கொண்டு (measuring tape) ஒருவரின் எடையை (weight) எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதை முந்தைய பாகத்தில் விவாதித்தோம். அந்த உதாரணத்திற்கு இப்போது மாதிரி தரவுகளின் அடிப்படையில் எவ்வாறு தீர்வு கண்டுபிடிப்பது என்பது இந்த பாகத்தின் நோக்கம் ஆகும்.

வெறுமனே ஏட்டுச் சுரைக்காயாக கதை சொல்லாமல், உங்களுக்கு புள்ளியியலின் உண்மையான விளைபொருட்களை காட்டுவதே இந்த பாகத்தின் நோக்கம். அவ்வாறு செய்யும் போது உங்களுக்கு நான் சொல்வதில் இன்னும் நம்பிக்கை கூடக்கூடும் என்பது எனது உள்ளார்ந்த நோக்கம் ஆகும்.

புள்ளியியல் மாதிரிகள் – மாதிரி தரவுகள்

இந்தப்பாகம் ஒரு மாதிரி தரவு திறனாய்வின் (data analysis) தொகுப்பு ஆகும். இதில் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ள தரவுகள் கற்பனையானவை. இந்த தரவுகள் உங்களுக்கு வேண்டும் எனில் நீங்கள் அதனை பதிவிறக்கம் செய்து பார்த்துக் கொள்ளலாம். கீழே கொடுத்து உள்ளேன்.

நீங்கள் எக்ஸெல் (MS Excel) மென்பொருள் கொண்டு இதனை திறந்தால் அது கீழே உள்ள படத்தில் இருப்பது போல இருக்கும். அதில் இருந்து, சில வரிசைகள் மட்டும் மாதிரிக்காக காட்டப்பட்டு உள்ளன.

இக்கட்டுரையில் இருந்து நீங்கள் எடுத்துக்கொள்ளவேண்டிய விடயம் இதில் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ள அணுகுமுறைகள் மற்றும் புள்ளியியல் தத்துவங்கள் மட்டுமே. உள்ளார்ந்த தரவுகள் மாறலாம். அணுகுமுறைகள் மாறுவதில்லை.

பொறுப்பு துறப்பு (Disclaimer*):

*இந்த மாதிரி தரவுகள் உண்மையோடு மாறுபடலாம். இந்த தரவுகள் மற்றும் இதன் விளைபொருளாக நான் தரவுகளின் அடிப்படையில் தருவிக்கும் விதிகளை அல்லது புள்ளியியல் சூத்திரங்களை நம்பி, நிஜ வாழ்க்கையில் எந்த முடிவுகளையும் எடுக்க வேண்டாம் என்று கேட்டுக்கொள்கிறேன்.

எடுத்துக் கொண்டுள்ள உதாரணம்

நான் இக்கட்டுரையின் முந்தைய பாகத்தில் குறிப்பிட்ட உதாரணத்தை அப்படியே மேற்கோள் காட்டுகிறேன்.  

நீங்கள் ஒரு அலுவலகத்தில் வேலை தேடி, நேர்காணல் தேர்விற்கு போகின்றீர்கள் என்று எடுத்துக்கொள்வோம். தேர்வின்போது, உங்களிடம் தூரத்தை அளவெடுக்கும் ஒரு பட்டை (measuring tape) கொடுக்கப்படுகிறது. உங்கள் எதிரில், மத்திம வயதை சேர்ந்த சராசரியான உயரம் மற்றும் பருமன் உடைய சில ஆண்களும் பெண்களும் அமர்ந்திருக்கின்றார்கள்.

இந்த அளவெடுக்கும் பட்டையின்  துணை கொண்டு நீங்கள் அவர்கள் அனைவரின் தோராயமான எடையை (approximate weight) கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று உங்களுக்கு ஒரு கேள்வி கொடுக்கப்படுகிறது. தேவைப்பட்டால், நீங்கள் தேர்வாளரிடம் மேலும் கேள்வி அல்லது தகவல்களை அல்லது வேறு தரவுகளைக் கேட்க அனுமதிக்கப்படுகின்றீர்கள். இப்போது நீங்கள் என்ன செய்வீர்கள்? நீங்கள் என்ன மாதிரியான கேள்விகள், தரவுகள் அல்லது தகவல்களை கேட்பதன் மூலம் உங்களுக்கு கொடுக்கப்பட்டுள்ள கேள்விக்கான பதிலை விரைவாக அடைவீர்கள்?

இதற்கு விடையாக நான் 4 வழி முறைகளை குறிப்பிட்டு இருந்தேன். அவற்றில், சராசரிகள், சூத்திரங்கள் மற்றும் தரவுகள் அடிப்படையில் மேம்படுத்தப்பட்ட சூத்திரங்கள் போன்றவை சிறப்பான முறைகள் என்று தீர்வுகளையும் வரிசைப்படுத்தி இருந்தேன்.

இந்த பாகத்தில் அணுகுமுறை 4இல் சொல்லப்பட்ட சூத்திரங்கள் எவ்வாறு பெறப்படலாம் என்பதை நான் மேலே குறிப்பிட்ட சில மாதிரி தரவுகளின் துணை கொண்டு பார்க்கப் போகிறோம். 

அறிவியல் ரீதியாக உடல் எடைக்கான காரணிகள் பலவாகும். பாலினம் (gender), உயரம் (height), வயது, உணவு பழக்கம், உடல் பருமன் (obesity), உடற்பயிற்சி பழக்கம், இனம் (human race – Asian, Caucasian etc) போன்றவை உடல் எடையை தீர்மானிக்கின்ற சில முக்கியக் காரணிகள் ஆகும்.

இருப்பினும் நாம் எடுத்துக்கொண்டுள்ள உதாரண கேள்வியில் பாலினம், தூர அளவுகள் மற்றும் எடை என மூன்று வகை தரவுகள் மட்டுமே உள்ளன. இவற்றில் பாலினம் ஒரு பெயரளவு மாறி (nominal variable) வகையை சேர்ந்ததால், அதனை நேரடியாக கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்த முடியாது என்று ஏற்கனவே பார்த்தோம்.

மக்களின் உயரம் அதிகமானால் அவர்களின் எடையும் அதிகமாக இருக்கும் என்பது நமக்கு தெரியும். இருப்பினும், ஒரே உயரம் உள்ள அனைவரும் ஒரே எடையோடு இருப்பதில்லை. ஒருவரின் பருமன் அளவை வைத்து உடல் எடை மாறக்கூடும் என்பதும் நமக்கு தெரியும். தொந்தியும் தொப்பையுமாக உள்ளவர்கள் அதிக எடையோடு இருப்பார்கள் தானே?

பருமனை அளவிட ஒருவரின் வயிற்றுப்பகுதியின் (Stomach) சுற்றளவு பயன்படலாம். மேலும் அவர்களது பிருஷ்டப்பகுதியின் (Buttocks/Seat) சுற்றளவும் கூட உபரியாக பயன்படும். பெண்களுக்கு பிருஷ்டப்பகுதி பெரிதாக இருப்பது இயற்கை அல்லவா? வேண்டுமெனில் உடலின் பிற குறிப்பிட்ட சில பாகங்களின் சுற்றளவும் கூட பயன்படக்கூடும். இருப்பினும் நம்மிடம் உள்ள சில மாறிகளின் அளவீடுகள் பொறுத்து மட்டும் இதற்கு விடை தேட முயல்வோம்.           

புள்ளியியல் மாதிரிகள் படிநிலை 1: தரவுகளின் எல்லை மற்றும் பரவல் அறிதல்

நாம் எடுத்துக்கொண்டுள்ள 190 மக்களின் தரவுகள் பொதுவான மக்கள் கூட்டத்தை உண்மையாக பிரதிபலிக்கின்றன என்று கருதுவோம். இந்த அடிப்படை கருதுகோள் (basic assumption) மிகவும் முக்கியம் ஆகும். இது பிழை எனில் நாம் கண்டுபிடிக்கும் சூத்திரம், புதிய நபர்களுக்கு சரியாக வேலை செய்யாமல் போக வாய்ப்பு அதிகம். உதாரணமாக சோதிடத்தில், நீங்கள் பயின்ற அனைத்து விதிகளும், அனுபவங்களும் சர மற்றும் திர ராசிகளை மட்டும் சேர்ந்தது எனில் உங்களால் உபய ராசிக்காரருக்கு சரியாக பலன் சொல்ல முடியாது அல்லவா, அது போலத்தான்!

இந்த தொகுப்பில் 93 பெண்கள் மற்றும் 97 ஆண்கள் (ஆக மொத்தம் 190 மனிதர்கள்) பற்றிய தரவுகள் பட்டியல் இடப்பட்டு உள்ளன. இவற்றில் எந்த இரு மனிதர்களின் எல்லா தரவுகளும் ஒன்று போல இல்லை. எனவே, ஓவ்வொருவரையும் தனிப்பட்ட முறையில் விளக்க வேண்டும் எனில் நமக்கு 190 சமன்பாடுகள் கிடைக்கக் கூடும்! மேலும் நாம் புதிதாக எடை கணிக்கப் போகும் நபரின் தரவுகள் இந்த 190 இல் இருக்கும் என்பது நமக்கு உறுதி இல்லை. எனவே இந்த தரவுகளை மட்டும் வைத்து நேரடியாக முடிவெடுக்க முடியாது என்பது புலப்படுகிறது. நமக்கு ஒரு மேலான தீர்வு (solution) தேவைப்படுகிறது.

புள்ளியியல் இந்த அனைத்து மாதிரி மனிதர்களின் தரவுகளின் பரவலை சுருக்கித் தருவதற்கு பல உத்திகளையும் கணக்கீடுகளையும் கொண்டுள்ளது. அவற்றில் முக்கியமானவை மைய அளவைகளும் (measures of central tendency), சிதறல் அளவைகளும் (measures of dispersion) ஆகும். மைய அளவைகளில் முக்கியமானவை குறைந்த பட்சம் (minimum), அதிக பட்சம் (maximum), சராசரி (mean or average), இடைநிலை அளவு (median) மற்றும் முகடு (mode) போன்றவை ஆகும். இவற்றில் குறைந்த பட்சம் (கீழே), அதிக பட்சம் (மேலே) மற்றும் சராசரி(நடுவில்) ஆகிய மூன்றும் நமது தரவு தொகுப்பில் உள்ள 4 மாறிகளுக்கும் கீழே உள்ள படத்தில் கொடுக்கப்பட்டு உள்ளன. ஆண் மற்றும் பெண் என்ற இரண்டு பாலினங்களுக்கும் இவை சற்று வேறாக இருப்பதை இந்த படம் காட்சிப்படுத்துகிறது. எனவே, நாம் பாலினம் பொறுத்து தனித்தனியான புள்ளியியல் மாதிரிகளை அல்லது சூத்திரங்களை உருவாக்குவதே உசிதமாக இருக்கக்கூடும் என்ற திசையை இவை காட்டுகின்றன.

இந்த மைய அளவைகளை வைத்து நாம் இன்னும் நேரடியாக முடிவுகளை எட்ட முடியாது. சராசரி (mean) என்ற புள்ளியியல் அளவையைக் கொண்டு நான் முந்தைய பாகத்தில் சொன்ன அணுகுமுறை-2 இன் வழியாக ஒரு தோராயமான முடிவையே எடுக்க முடியும்.

இருப்பினும், எந்த எல்லைக்குள் நமது சூத்திரங்கள் வேலை செய்யும் என்பதை கண்டுபிடிக்க இந்த மைய அளவைகள் உதவுகின்றன. உதாரணமாக, நாம் பெண்களின் உயரம் மற்றும் எடை என்ற இரண்டுக்கும் இடையில் உருவாக்கும் சூத்திரம், உயரம் 145 செமீ முதல் 179 செமீ வரை உள்ள பெண்களுக்கே (நாம் மாதிரி உருவாக்க பயன்படுத்தும் எல்லை) பொருந்தும். நாம் உருவாக்கிய சூத்திரத்தை வேறு உயரம் உள்ள பெண்களுக்கு எடை கண்டுபிடிக்க பயன்படுத்தும் போது, அதன் நம்பகத்தன்மை குறைவே.

இந்த எல்லைக்குள்ளும், நாம் கண்டுபிடிக்கப்போகும் சூத்திரம் மேலும் சிறப்பாக பொருந்தும் எல்லையை  சிதறல் அளவை கணக்கீடுகள் (measures of dispersion) மூலம் அறியலாம். அத்தகைய ஒரு கட்டப்படம் (Box plot) அல்லது கட்ட விஸ்கர் படம் (Box and Whisker Plot) எல்லா மாறிகளுக்கும் கீழே கொடுக்கப்பட்டு உள்ளது. இந்த படத்தில் நீங்கள் மத்தியில் காணும் கரும் பட்டை எந்த தரவின் அளவு வரை உங்கள் சூத்திரம் மிகவும் நம்பகமாக வேலை செய்யும் என்பதை காட்டுகின்றன. நாம் எடுத்துக்கொண்ட பெண்கள் உயரம் உதாரணத்தில், 153-172 செமீ என்ற உயர அளவுகளில் புதிய நபர் இருக்கும் பட்சத்தில், உயரத்தை வைத்து உருவாக்கும் உங்கள் சூத்திரம் அவரது எடையை சிறப்பாக கணிக்கும் என்று நீங்கள் நம்பலாம். இது போல பிற மாறிகளுக்கும் எல்லைகளை எளிதில் கண்டுபிடிக்கலாம்.

இந்த படத்தில் பெண்களில் வயிறு (stomach) அளவுகளின் தரவு மிகவும் பரந்து இருப்பதை (widely dispersed) இந்த படம் காட்டுகிறது. அதில் இயல்புக்கு மாறாக அமைந்துள்ள சில புள்ளிகள் (Outliers – சிறு சிவப்பு வட்டம் இட்டுள்ளேன்) உங்கள் திறனாய்வை (analysis) பாதிக்கும் சாத்தியம் உள்ளது என்பதை இப்படம் காட்டுகிறது. இது போன்ற தரவு மாதிரிகள் (sample records), சூத்திரம் உருவாக்கும் முன் விலக்கப்படவேண்டும். நான் அவை எவ்வாறு பாதிக்கும் என்று காட்டுவதற்காக அவற்றை நீக்காமல் தான் என் திறனாய்வில் பயன்படுத்தியுள்ளேன்.

இதற்கு இணையாக நீங்கள் சோதிடத்தில் கவனிக்க வேண்டியது: இது போல சோதிடத்தில் எந்த எல்லைவரை எந்த சூத்திரம் பொருந்தும் என்று தெளிவாக வரையறை செய்யப்படவில்லை. சோதிடர்கள் எல்லை தாண்டிய தரவுகளின் (Outliers or special cases) மீது பொதுவான சோதிட விதிகளை பயன்படுத்தும் போதுதான் பெரும்பாலும் தங்கள் கணிப்பில் தோற்றுப் போகின்றார்கள்.

புள்ளியியல் மாதிரிகள் படிநிலை 2: மாறிகளுக்கு இடையிலான தொடர்புகளை அறிதல்

நமது திறனாய்வின் அடுத்த நிலையில் தனிப்பட்ட இரு மாறிகளுக்கு இடையிலான தரவுகள் எவ்வாறு அமைந்துள்ளன என்பதை பார்க்கலாம். கீழே உள்ள படங்களில் எடையானது Y அச்சிலும், கணிக்கும் மாறிகள் X அச்சிலும் கொண்டு தனிநபர் தரவுகள் காட்சிப்படுத்தப் பட்டுள்ளன. ஆண்களுக்கான தரவு புள்ளிகள் பச்சை வண்ணத்திலும் பெண்களுக்கான தரவு புள்ளிகள் சிவப்பு வண்ணத்திலும் காட்டப்பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு நபருக்கான தரவை குறிப்பிடுகிறது.

கீழே நீங்கள் பார்க்கும் உயரம் மற்றும் எடை ஆகியவற்றின் தரவுகளின் மூலம் பொதுவாக ஆண்களின் எடை பெண்களின் எடையைவிட அதிகமாக இருப்பதை பார்க்கலாம். மேலும் ஆண்களின் எடை, அவர்களது உயரம் அதிகரிக்கும் போது விரைவாக அதிகரிப்பதை பார்க்கலாம். ஒரே உயரத்தை சேர்ந்த பல ஆண்களின் எடையும் கிட்டத்தட்ட ஒன்று போலவே நெருக்கமான இடைவெளியில் அமைந்துள்ளதை பார்க்கலாம். அதுவே பெண்களின் விவரத்தை எடுத்துக்கொண்டால், இந்த எடை அதிகரிப்பு உயரத்தை பொறுத்து சற்று குறைவாகவே மாறுபடுவதை காணலாம். மேலும் ஒரே உயரத்தைக் கொண்ட பெண்களின் எடைகளுக்கு இடையே அதிகமாக மாறுபாடு காணப்படுகிறது.

இதுபோல நாம் வயிற்றுப்பகுதிக்கும் எடைக்கும் ஆன தரவுகளின் பரவலை கீழே காணலாம். இந்த தரவு புள்ளிகள் ஆண்களுக்கும் பெண்களுக்கும் சற்று அகலம் ஆகவே விரவியுள்ளன. ஆண்களின் இடுப்பு அளவு சிறிதளவே அதிகரித்தாலும் அதனுடன் தொடர்பு பெற்றுள்ள எடை விரைவாக அதிகரிப்பதை பார்க்கிறோம்.

கீழே உள்ள அடுத்த படத்தில் பிருஷ்ட பகுதிக்கும் எடைக்கும் ஆன  தரவுகளின் பரவல் காட்டப்பட்டுள்ளது. இதிலும்கூட, தரவுகளின் பரவல் சற்று அகலமாகவே இருப்பதை காணலாம். இதுவரை நாம் பார்த்தது Y மற்றும் X  ஆகிய விளைவு மற்றும் வினை ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பு ஆகும். அடுத்ததாக, நாம் கணிக்க உதவும் மூன்று X காரணிகளும் தங்களுக்குள் எவ்வாறு தொடர்பு பெற்றுள்ளன என்பதை பார்க்கலாம்.

புள்ளியியல் மாதிரிகளில் முக்கியமான அடிப்படை விதி இதுபோன்ற கணிக்க உதவும் மாறிகள் தங்களுக்குள் நெருக்கமான ஒரு தொடர்பை கொண்டு இருக்கக் கூடாது என்பதாகும். இரண்டு கணிக்க உதவும் மாறிகள்  அதிக அளவில் தங்களுக்கு இடையே ஒட்டுறவை (correlation) பெற்றிருந்தால் அவற்றில் ஒன்றை மட்டும் நமது சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தினால் போதும். ஏனெனில் ஒரு சிறந்த புள்ளியியல் சமன்பாடு குறைவான எண்ணிக்கையிலான காரணிகளைக் கொண்டு விளைவுகளை அளவிட வேண்டும் என்பது புள்ளியியலின் முக்கியமான ஒரு அடிப்படை விதியாகும். இதனடிப்படையில் நாம் நமது மூன்று காரணிகளுக்கும் இடையிலான தரவுகளின் பரவலை இங்கே பார்ப்போம்.

கீழே உள்ள படத்தில், இடது புறத்தில் உள்ள படத்தில் இருந்து உயரத்திற்கும் இடுப்பு அளவிற்கும் இடையே நேரடியான தொடர்பு இருப்பது நமக்கு விளங்குகிறது. மத்தியில் உள்ள படத்தில் இருந்து உயரத்திற்கும் பிருஷ்ட பகுதிக்கும் இடையே நேரடியான தொடர்பு இருப்பது நமக்கு விளங்குகிறது. இவை இரண்டு படங்களிலும் ஆண் பெண்ணுக்கு என்று தனியான பரவல் ஒழுங்கு இல்லை என்பதும் புலனாகிறது.

அது போல வலது புறம் உள்ள வரைபடத்தில் இருந்து இடுப்பு மற்றும் பிருஷ்ட பகுதிக்கு இடையே மிகவும் நெருக்கமான மற்றும் வலுவான ஒட்டுறவு இருப்பது நமக்கு புலனாகிறது. இவை இரண்டில் ஒன்றினை நமது சூத்திரத்தில் பயன்படுத்தினால் போதும் என்றும் நமக்கு புள்ளியியல் வழி காட்டுகிறது.

நமக்கு இப்போது சமன்பாடு கண்டுபிடிக்கும் மாறிகள் ஓரளவுக்கு அடையாளம் தெரிந்து விட்டது. உயரம் மற்றும் மற்ற இரண்டு காரணிகளில் ஒன்று எடையை கண்டுபிடிக்க பயன்படலாம் என்பது புரிகிறது.

இதுவரை தனித்த தரவுகளாக நாம் பார்த்ததை இப்போது தொகுத்த அறிவாக பார்க்கலாம். பியர்சன் ஒட்டுறவு கெழு (Pearson Correlation Coefficient – r) என்ற புள்ளியியல் சூத்திரம் இரு மாறிகளுக்கு இடையே உள்ள ஒட்டுறவை (Correlation) ஒரு எண்ணாக சுருக்கி தருகிறது. இந்த பியர்சன் ஒட்டுறவு கெழு -1 முதல் +1 வரையிலான மதிப்புகளை பெறலாம். இந்த கெழு -1க்கு அருகில் இருந்தால் இரு மாறிகளுக்கு இடையே மிகவும் வலுவான எதிர்மறை ஒட்டுறவு உள்ளது என்றும் +1க்கு அருகில் இருந்தால் மிகவும் உறுதியான நேர்மறை ஒட்டுறவு உள்ளது என்றும் பொருள் ஆகும். இந்த மதிப்பு 0 என்றால் மாறிகள் இரண்டிற்கும் இடையே நேர்கோட்டு ஒட்டுறவு இல்லை என்று பொருள். இந்த ஒட்டுறவு கெழு 0.5 என்ற அளவுக்கு மேல் இருந்தால் ஒன்றினை வைத்து நாம் மற்றதை நம்பிக்கையோடு கணக்கிட இயலும்.

இது பற்றிய விரிவான விளக்கங்கள் தமிழ்நாடு அரசின் 12ஆம் வகுப்பு புள்ளியியல் பாடப்புத்தகத்தில் உள்ளது. உங்களுக்கு ஆர்வம் இருந்தால் பிறகு படித்து தெரிந்து கொள்ளுங்கள். அதற்கான உரலி இதுவாகும்: 12th_Statistic_TM – www.tntextbooks.in.pdf – Google Drive (பக்கம்  121 முதல் 131 வரை). புதிதாக தமிழில் புள்ளியியல் கற்க விரும்புபவர்கள் இந்த 11 மற்றும் 12ஆம் வகுப்பு புத்தகங்களில் இருந்து தொடங்குமாறு நான் வலுவாக சிபாரிசு செய்கிறேன்.

நமது கட்டுரைக்கு மீண்டும் வருவோம். நாம் கருதும் மாறிகளுக்கு இடையிலான ஒட்டுறவு கெழு (correlation coefficients) மதிப்புகளை பாலினம் வாரியாக கீழே நமது தரவுகளின் அடிப்படையில் கணித்துக் கொடுத்துள்ளேன். இவற்றில் பச்சை மற்றும் மஞ்சள் வண்ணமிட்ட கட்டங்களை மட்டும் பரிசீலனைக்கு எடுத்துக்கொள்வோம்.

உதாரணமாக, ஆண்கள் அட்டவணையில், உயரம் மற்றும் எடை இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள ஒட்டுறவு கெழு (correlation coefficient)  0.96 ஆகும். இது எடையை கண்டுபிடிக்க உயரம் ஒரு சிறப்பான காரணியாக இருக்கும் என்பதை உறுதி செய்கிறது. அடுத்து எடைக்கும் வயிறுக்கும் இடையே உள்ள கெழு 0.68 ஆகும். இது பிருஷ்டத்தின் கெழுவான 0.63ஐ விட அதிகம். எனவே, இவை இரண்டில் வயிறு அளவு மேலான கண்டுபிடிக்கும் காரணியாக பயன்படலாம். வயிறு மற்றும் பிருஷ்டம் இடையே உள்ள கெழு 0.88 ஆகும். இது மிகவும் அதிகமாக உள்ளதால், இவற்றில் ஒன்று மட்டும் நமக்கு போதுமானதாக இருக்கும்.

இது போல, பெண்களுக்கான அட்டவணையையும் நீங்கள் மதிப்பிடலாம். எடையை கண்டுபிடிக்க நமக்கு 3 மாறிகளுமே தனித்தனியாக உதவலாம். அவற்றுள் மேலானது உயரம் ஆகும். அடுத்து வயிறு அளவும், அதனை அடுத்து பிருஷ்ட அளவும் பயன்படலாம்.

நிற்க! நாம் இதுவரை பார்த்ததை, சோதிடத்தில் பயன்படுத்தும் பலன் சொல்லும் தனித்த மாறிகளோடு  பொருத்திப் பாருங்கள். நாம் தனித்தனியாக பயன்படுத்தும் எல்லா சோதிட மாறிகளையும் இது போல விளைவுகளை அல்லது நிகழ்வுகளை கண்டுபிடிக்க உதவும் காரணிகள் என்று எடுத்துக் கொள்ளலாம். புள்ளியியலில் நாம் கண்டுபிடிப்பது போல சோதிடத்தில் சிறந்த மாறி எது என்று கண்டுபிடிக்க நம்மிடம் ஏதாவது அளவுகோல் உள்ளதா? அது போல எத்தனை மாறிகளுக்கு இடையிலான தொடர்புகள் பற்றிய புள்ளி விபரங்கள் நம்மிடம் இன்று உண்டு? அவற்றை உருவாக்குதல் நமது கடமை இல்லையா?

புள்ளியியல் மாதிரிகள் படிநிலை 3: தரவுத் தொடர்புகளை சமன்பாடாக அல்லது சூத்திரமாக கணக்கிடுதல் (Estimation)

இதுவரை நாம் மாறிகளின் முக்கியத்துவத்தை மட்டும் பார்த்தோம். அடுத்த நிலையில் நாம் சிறந்த சமன்பாடு(களை) உருவாக்குவோம். இதுபோன்ற சமன்பாடுகளை உருவாக்க பலவித முறைகள் உள்ளன. அவற்றில் முக்கியமானது உடன் தொடர்பு பகுப்பாய்வு முறை (Regression Analysis) என்பதாகும். இதனை பற்றிய அறிமுகம் இந்த புத்தகத்தில் உள்ளது: http://tnschools.gov.in/media/textbooks/12th_Statistics_TM_Combined-PDF-28-01-2020.pdf (அத்தியாயம் 5, பக்கம் 139). இதில் பக்கம் 144 இல் உள்ள 5.4.2 உடன் தொடர்புச் சமன்பாடு பொருத்துதல் இந்த முறை பற்றி விரிவாக விளக்குகிறது. உங்களுக்கு ஆர்வம் இருந்தால், பிறகு படித்து தெரிந்து கொள்ளுங்கள்.
இந்த முறையில் இரு பரிமாண இடைவெளியில் நாம் தரவுகளின் ஊடாக செல்லும் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடை கண்டுபிடிக்க முயல்கிறோம். அந்த நேர்கோடானது நமது கணிப்பில் ஏற்படும் பிழைகளின் (உண்மைக்கும் கணிப்பிற்கும் இடையே உள்ள வித்தியாசம்) இரு மடங்கின் மொத்த கூட்டுத்தொகை மிகவும் குறைவானதாக அமையுமாறு இருக்கவேண்டும் (Ordinary Least Square – OLS technique). அதன்படி, இந்த முறையின் மூலம் நான் எடைக்கான சமன்பாட்டை தனித்தனியான மாறிகளின் ஊடாக, இரு பாலினத்திற்கும் கண்டுபிடித்து கீழே உள்ள வரைபடங்களில் காட்சிப்படுத்தியுள்ளேன்.

இந்த இடத்தில் நாம் கண்டுபிடிப்பது ஒரு தோராயமான ஆனால் தரவுகளின் அடிப்படையில் நம்பத்தகுந்த ஒரு சிறப்பான கணிதசமன்பாடு (Best Equation) மற்றும் அதன் நம்பகத்தன்மையின் அளவுகோல் (statistical significance – R² in this case) ஆகிய இரண்டும் ஆகும். சிறப்பான கணிதசமன்பாட்டினை கண்டுபிடிப்பதற்கான கூடுதல் கணக்கீடுகள் புள்ளியியலின் சிறப்பு ஆகும்.

இதில் உதாரணமாக பெண்களின் உயரம் மற்றும் எடை இரண்டிற்கும் இடையிலான சமன்பாடு

y = 0.4916x – 18.545

R² = 0.8637

என்பதாகும்.

அதாவது பெண்களின் எடை (Y)   = 0.4916 x  உயரம் (செமீ)  – 18.545 என்ற சமன்பாட்டால் கணக்கிடப்படலாம். இந்த சமன்பாட்டில் 0.4916x என்பது உயரம் ஓவ்வொரு 0.4916 செமீ அதிகம் ஆகும் போதும் எடை 1 கிலோ அதிகம் ஆகிறது எனக் கண்டுபிடிக்க உதவுகிறது. இந்த சமன்பாடு 145 முதல் 179 செமீ உயரம் என்ற எல்லைகளுக்குள் உள்ள பெண்களுக்கு எடை கண்டுபிடிக்க பயன்படும் (ஒரு உதாரணத்துக்காக சொல்லப்படுகிறது -நிஜத்தில் பயன்படுத்தாதீர்கள்).

இங்கே காட்டப்பட்டுள்ள R² = 0.8637 என்ற அளவு, எடையில் நிகழும் 86% மாறுபாடுகளை உயரத்தில் நிகழும் மாறுதல்கள் விளக்க முடியும் என்பதை தெரிவிக்கிறது. இது போல மீதமுள்ள சமன்பாடுகளையும் நீங்கள் புரிந்து கொள்ள இயலும்.

புள்ளியியல் மாதிரிகள் – சமன்பாட்டை மேலும் மெருகூட்டுதல்

நாம் மேலே பார்த்த 6 சமன்பாடுகளும் எடையை ஒரு தனித்த மாறியின் விளைவாக கணக்கிடுகின்றன. ஒரு பாலினத்துக்கு 3 சமன்பாடுகள் என்பது அதிகம். மேலும் நம்மிடம் உள்ள 3 வகை மாறிகளில் உள்ள தகவல் செறிவு முழுதாக இன்னும் பயன்படுத்தப்படவில்லை. எடையில் இன்னும் விளக்கப்படாத மாற்றங்கள் உள்ளன. நாம் உயரத்துடன் மற்ற பருமன் சார்ந்த மாறிகளையும் சேர்த்தால், நம் சமன்பாடு இன்னும் மேம்படக்கூடும்.

முதலில் உயரம் ஆனது எடையில் விளக்கும் மாறுபாடுகளை கணக்கில் கொண்டபின், மற்ற இரு பருமன் சம்பந்தப்பட்ட மாறிகள் எடையில் வேறு ஏதேனும் மாறுபாடுகளை கூடுதலாக விளக்க முடியுமா என்று பார்க்க வேண்டும். அதற்கு பகுதி ஒட்டுறவு (partial correlation) போன்ற புள்ளியியல் கணக்கீடுகள் உதவும்.

இப்போது நம் சமன்பாட்டில் எடையை விளக்க, உயரத்துடன் பருமனையும் சேர்த்து முயல்வோம். அது போன்ற ஒரு தரவு திறனாய்வை நான் பாலினம் ரீதியாக மேற்கொண்டு அதன் விளைபொருட்களை உங்களுக்கு கீழே கொடுத்து உள்ளேன். இந்த தரவுத் திறனாய்வு SAS 9.4 என்ற புள்ளியியல் மென்பொருள் மூலம் செய்யப்பட்டது. இதிலும் Ordinary Least Squares(OLS) முறையே பயன்படுத்தப்பட்டு உள்ளது. கூடுதலாக, மாறிகள் சமன்பாட்டில் நுழைய வேண்டும் எனில் அதற்கு சில புள்ளியியல் கட்டுப்பாடுகளை விதித்து இந்த சமன்பாட்டை வருவித்து உள்ளேன். அந்த திறனாய்வு ரீதியான கட்டுப்பாடு விபரங்கள் இந்த கட்டுரையின் எல்லைக்குள் எழுத முடியாது. அறிய விருப்பம் இருந்தால் தேடிப்படிக்கவும் அல்லது பின்னூட்டத்தில் தெரிவிக்கவும்.

நாம் இங்கே கீழ்கண்ட சமன்பாட்டை கண்டறிய முயல்கிறோம்.

எடை = f(உயரம், வயிற்றுப்பகுதியின் சுற்றளவு, பிருஷ்டப்பகுதியின் சுற்றளவு, பாலினம்) + ei

நமது தரவுத் திறனாய்வு அடிப்படையில், நான் கீழ்க்கண்ட சமன்பாடுகளைப் பெற்றுள்ளேன்.

பெண்கள்

எடை = -17.42762854 + 0.404423695 x உயரம் (செமீ) + 0.358308166 x வயிறு (இன்ச்)

R² = 0.9030 (Partial R² : உயரம் 0.8637 + வயிறு 0.0393 = 0.9030)

ஆண்கள்

எடை = -64.98131551 + 0.674555744 x உயரம் (செமீ) + 0.729737511 x வயிறு (இன்ச்)

R² = 0.9648 (Partial R² உயரம் 0.9264 + வயிறு 0.0384)

ஆண்களுக்கான சமன்பாட்டில் உயரமானது எடையில் ஏற்படும் 92.6% மாற்றங்களை விளக்கம் செய்கிறது மற்றும் அதனுடன் வயிற்று அளவையையும் சேர்க்கும் போது அது மேலும் கூடுதலாக 3.8% எடை மாற்றத்தை கண்டுபிடிக்க உதவுகிறது என்பது நமக்கு தெரிய வருகிறது. இவை இரண்டும் சேர்ந்து மொத்தம் 96.5% எடை மாற்றத்தை கணிக்க உதவுகின்றன. இது போல பெண்களின் சமன்பாட்டையும் நாம் பகுத்து அறியலாம்.

இந்த சமன்பாட்டில் உயரம் மற்றும் இடுப்பு அளவை தாண்டி பிருஷ்ட அளவு, எடையை விளக்க போதுமானதாக இல்லை. எனவே, அது விலக்கப்படுகிறது.

இந்த இரண்டு சூத்திரங்களை கொண்டு நாம் நமது தரவு எல்லைகளுக்குள் அடங்கும் ஒருவரின் எடையை கண்டுபிடித்து விடலாம். இவை இரண்டில் ஆண்களின் சமன்பாடு மிகவும் வலிமையாக உள்ளது. பெண்களின் சமன்பாட்டில் நாம் விலக்காமல் விட்ட சில தரவு புள்ளிகள் சமன்பாட்டினை சிறிய அளவில் பாதித்து உள்ளன எனலாம்.

இதுபற்றி மேலும் அறிய விரும்புபவர்கள் கீழே உள்ள Fit Diagnosis for Weight என்ற படத்தில் Leverage vs RStudent என்று குறிப்பிடப்பட்டுள்ள வரைபடத்தில், சில தரவு புள்ளிகள் மிகவும் விலகி இருப்பதைப் பார்த்து அறியவும் (வட்டமிடப்பட்டு உள்ளது). கூடுதல் தகவலாக, இவற்றின் அதிகபட்ச புள்ளியியல் ரீதியிலான கணித தரவுகளை கீழே காட்சிப்படுத்தி உள்ளேன்.

மேலே உள்ள அட்டவணைகளில் இருந்து, நமது சமன்பாடுகளில் உள்ள இரு காரணிகளில் எடையை நிர்ணயிப்பதில் எந்தெந்த காரணிகள் எந்தெந்த பங்கு வகிக்கின்றன என்பதை அட்டவணையில் கொடுத்துள்ள STD Beta As % அளவுகள் மூலம் அறியலாம். ஆண்களின் எடையை தீர்மானிப்பதில் உயரம் 78.4% பங்கு வகிக்கிறது. இடுப்பு மீதமுள்ள 21.6 சதவீத பங்கு வகிக்கிறது. இது போல பெண்களின் சமன்பாட்டில் உயரம் 75% பங்கும் இடுப்பு மீதமுள்ள 25% சதவீதமும் பங்கு வகிக்கின்றன. இவை யாவும் கற்பனையான தரவுகளின் அடிப்படையில் அமைந்தவை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இது போன்ற புள்ளியியல் கணக்கீடுகள் முடிவுகளின் தரத்தை மேம்படுத்துகின்றன.

இதுவரை நாம் பார்த்தது புள்ளியியல் என்ற ஒரு பெரிய கடலின் சிறிய துறைமுகப்பகுதியை மட்டுமே. இது போல புள்ளியியல் மூலம் தரவுகளை உள்ளே ஒளிந்துள்ள தொடர்புகளை சூத்திரங்களாக கண்டுபிடிக்கவும்  உறுதிபடுத்திக்கொள்ளவும் முடியும்.

புள்ளியியல் மாதிரிகள் – கட்டுரைச் சுருக்கம்

இதுவரை நீங்கள் மேற்கண்ட விடயங்களில் இருந்து அறிய வேண்டியவை.

1. ஒரு மாறியை அல்லது விளைவை பலவித மாறிகளும் அல்லது காரணிகளும் தீர்மானிக்க உதவலாம் என்று பார்த்து இருப்பீர்கள். சோதிடரீதியாக சொன்னால், ஒரு பலனை கண்டுபிடிக்க பல சோதிட மாறிகள் உதவலாம் என்று கொள்ளவும்.
2. பலனை விளக்கும் காரணிகளில் மேம்பட்டவை சிலது மட்டுமே இருக்கக்கூடும் என்பதையும் கண்டோம். மேலும் அவற்றின் முக்கியத்துவத்தின் வரிசையை எப்படி புள்ளியியல் ரீதியாக கண்டு பிடிக்கலாம் என்றும் அறிந்தோம். சோதிடரீதியாக சொன்னால் எந்த விடயத்தை முதலில் பார்ப்பது என்று கொள்ளவும்.
3. ஒன்றிற்கும் மேற்பட்ட காரணிகளை கொண்டு, தனிப்பட்ட காரணிகளை விட மேம்பட்ட சமன்பாடுகளை பெற இயலும் என்று கண்டோம். அதாவது ஒன்றிற்கும் மேலான சோதிட காரணிகளை கொண்டு மேம்பட்ட பலன்களை அறியலாம் என எடுத்துக்கொள்ளவும். உதாரணமாக, ராசி மட்டும் வைத்து பலன் சொல்லாமல், லக்கினத்தையும் சேர்த்து பலன் சொன்னால் சிறப்பாக பலன் சொல்ல முடியும் அல்லவா? அது போல எடுத்துக்கொள்ளுங்கள்.
4. நமக்கு தெரிந்த எல்லா காரணிகளும் ஒரு விளைவை கணிக்க தேவை இல்லை எனப் பார்த்தோம். அதாவது, நம்மிடம் கரும்பே இருக்கும் போது, இனிப்புக்கு இலுப்பை பூவுக்கு தேவை இல்லை என்பதாகும். சர்க்கரை இல்லாத போது வேண்டுமானால் இலுப்பை பூவை நாடலாம் என்பதாம். சோதிடத்தில் அதுபோல எல்லா மாறிகளும் ஒரு பலனைச் சொல்ல எப்போதும் தேவை இல்லை என எடுத்துக் கொள்ளவும்.
5. மாறிகளின் முக்கியத்துவத்தை எண்கள் அளவில் கணக்கிடும் போது அது ஒரு காரணியின் முக்கியத்துவத்தை எளிதில் குழப்பமின்றி உணர்த்தும் எனப் பார்த்தோம். அதாவது எந்த சோதிட மாறிக்கு எவ்வளவு முக்கியத்துவம் கொடுக்கவேண்டும் என்பதை கண்டறிய வேண்டும் என்று அறிந்தோம்.
6. ஒரு சூத்திரம் சரியாக வேலை செய்யும் தரவுகளின் எல்லைகள் எதுவரை என்று அறிந்தோம். அதாவது நமது தெரிந்த சோதிட விதிகளுக்குள் வரையறை செய்யப்படாத ஒரு ஜாதகம் வரும் போது, அதில் தெரியாத ஒரு விடயத்தை பற்றி பலன் சொல்வதை தவிர்ப்பது சிறந்தது என்று அறிந்தோம்.

இப்போது நீங்கள் இதுவரை படித்து அறிந்த மேலான புள்ளியியல் முறைகள் சார்ந்த அனைத்தும் உங்களுக்கு சோதிடத்தில் கிடைத்தால் நீங்கள் பலன்களை எப்படி தெறிக்கவிடுவீர்கள் என்று ஒரு கற்பனை செய்து பாருங்கள். ஆனால், சோதிடத்தில் ஒரு விளைவை தீர்மானிக்க பயன்படுத்தப்படும் எந்த மாறிக்கும், விதிக்கும் அல்லது சூத்திரத்திற்கும் இது போன்ற உறுதிப்படுத்தும் புள்ளியியல் ரீதியிலான தரவுகள் எதுவுமே இல்லை என்பது மிகவும் வருத்தமான மற்றும் உறுத்தலான விடயம் தானே. இதுபோல கேள்வி மற்றும் யோசனை பிறந்தால்தானே பதிலும் கிடைக்கும்?

எனது பார்வைகள் மற்றும் உங்கள் சிந்தனைக்கு சில விடயங்கள்:

 நான் இதுவரை அறிந்ததில் இருந்து, சோதிட விதிகளுக்கான அடிப்படை புள்ளியியல் கட்டுமானங்கள் நமது முன்னோர்களால் சோதிடத்தில் மிகவும் வலுவாகவே போடப்பட்டு உள்ளன என்பேன். அதனை நிரூபிக்க உங்களை ஒரு கேள்வி கேட்கிறேன். உங்களுக்கு தெரிந்த எந்த இரு சோதிட மாறிகளாவது அச்சு அசலாக ஒரே மாதிரி இருப்பதை நீங்கள் கவனித்து இருக்கின்றீர்களா? உதாரணமாக ராசி அதிபதிகள், கிரக பார்வைகள், உச்ச நீச்ச, ஆட்சி மற்றும் திரிகோண வீடுகள் போன்றவை எங்கேனும் ஒன்று போலவே இருப்பதை பார்த்து இருக்கின்றீர்களா? பாவம், பாவ அதிபதி, கிரகம், காரகம், உச்சம், நீச்சம், வக்கிரம், பரிவர்த்தனை, கிரக யுத்தம், அஸ்தங்கம், ஷட்பலம், ராசி கட்டம், நவாம்சம், ஷோடச வர்க்க கட்டங்கள், தசை புக்தி, அஷ்டவர்கம் என்று ஏன் இவ்வளவு அதிகமான தனித்துவமான சோதிட மாறிகள் நம் முன்னோர்களால்  ஏற்படுத்தப்பட்டு உள்ளன என்று உங்களால் யூகிக்க முடிகிறதா? 

கரும்பும் இலுப்பை பூவும் இந்த உலகில் ஏன் ஏற்படுத்தப்பட்டு உள்ளன என்பது புரிந்தால், உங்களுக்கு நம் முன்னோர்கள் ஏன் இவ்வளவு சோதிட மாறிகளை ஏற்படுத்தினார்கள் என்பது புரியும். இத்தனை மாறிகள் மற்றும் கட்டுமானங்கள் மூலமும் அவர்கள் சாதிக்க முயன்றது எல்லாம் எப்படி மிகவும் சிக்கலான ஒரு பெரிய புதிரை நேர்த்தியாக தீர்ப்பது என்பது தான். அவர்களின் கணித அறிவின் ஞானமே நம்மிடம் சோதிட விதிகளாக தங்கி உள்ளன. உணவை சாப்பிட தெரிந்த நமக்கு அதனை சமைக்கவும் தெரிந்து கொள்வது சிறந்த பலனை அளிக்கும் அல்லவா?

சோதிடம் மற்றும் புள்ளியியல் என்ற இரு வேறு உலகங்களை இணைக்கும் என் முயற்சியில் இந்த கட்டுரை தொடரின் புள்ளியியல் பாகத்தை நான் இங்கே நிறைவு செய்கிறேன். அடுத்து வரும் பாகங்களில், நேரடியாக சோதிட கட்டுமானங்களை புள்ளியியல் பார்வையில் அணுகுவோம்.

இதன் அடுத்த பாகத்தில் பாரம்பரிய பராசரி முறையின் முக்கியமான  சோதிட மாறிகளை அவற்றின் புள்ளியியல் தனித்துவங்களோடு மற்றும் தொடர்புகளோடு உங்களுக்கு அறிமுகப்படுத்த முயல்வேன். ஒரு பெரிய கப்பலின் பாகங்களை ஒரு சிறுவன் தனித்தனியாக அடையாளம் காண்பதை போன்ற முயற்சியாக அது இருக்கப்போகிறது. அதனை படிக்கும் போது, இதுவரை நீங்கள் பார்க்காமல் விட்ட புள்ளியியல் பரிமாணங்கள் சோதிடத்தில் இருப்பதை எண்ணி நீங்கள் வியக்கப் போவது உறுதி! 😉

இதுவரையில் முழுதாக படித்தமைக்கு நன்றி! 😊

பின்னூட்டங்களும், பகிர்வுகளும் வரவேற்கப்படுகின்றன.