இந்திய சோதிடத்தில் புள்ளியியல் கட்டுமானங்கள்: பாகம் 2. சில புள்ளியியல் அடிப்படைகள்

இந்திய சோதிடத்தில் புள்ளியியல் – இக்கட்டுரையின் முதல் பாகம், இந்த கட்டுரை தொடரின் நோக்கம் மற்றும் அதன் தேவை குறித்து விளக்குகிறது. நீங்கள் இதுவரை படிக்கவில்லை எனில் அதனை முதலில் படித்துவிட்டு தொடர்வது உங்களுக்கு இந்த இரண்டாம் பாகத்தின் தொடர்பை விளக்கும். இது சற்று நீண்ட கட்டுரை. இதற்கென நேரம் ஒதுக்கி பொறுமையாக படிக்குமாறு கேட்டுக்கொள்கிறேன்.

உங்களிடம் ஒரு கேள்வி

இந்த தொடர் கட்டுரையின் இரண்டாம் பாகத்தை ஒரு உதாரணத்தோடு ஆரம்பிப்பது சரியாக இருக்கும் என்று நினைக்கிறேன். நீங்கள் ஒரு அலுவலகத்தில் வேலை தேடி, நேர்காணல் தேர்விற்கு போகின்றீர்கள் என்று எடுத்துக்கொள்வோம். தேர்வின்போது, உங்களிடம் தூரத்தை அளவெடுக்கும் ஒரு பட்டை (measuring tape) கொடுக்கப்படுகிறது. உங்கள் எதிரில், மத்திம வயதை சேர்ந்த சராசரியான உயரம் மற்றும் பருமன் உடைய சில ஆண்களும் பெண்களும் அமர்ந்திருக்கின்றார்கள்.

இந்த அளவெடுக்கும் பட்டையின்  துணை கொண்டு நீங்கள் அவர்கள் அனைவரின் தோராயமான எடையை (approximate weight) கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று உங்களுக்கு ஒரு கேள்வி கொடுக்கப்படுகிறது. தேவைப்பட்டால், நீங்கள் தேர்வாளரிடம் மேலும் கேள்வி அல்லது தகவல்களை அல்லது வேறு தரவுகளைக் கேட்க அனுமதிக்கப்படுகின்றீர்கள். இப்போது நீங்கள் என்ன செய்வீர்கள்? நீங்கள் என்ன மாதிரியான கேள்விகள், தரவுகள் அல்லது தகவல்களை கேட்பதன் மூலம் உங்களுக்கு கொடுக்கப்பட்டுள்ள கேள்விக்கான பதிலை விரைவாக அடைவீர்கள்?

கேள்வியை நன்றாக கவனிக்கவும். கொடுக்கப்பட்டுள்ளது இரு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை அளக்க உதவும் பட்டை (measuring tape). பதிலாக கேட்கப்படுவது சில நபர்களின் எடை (weight). சில நிமிடங்கள் இங்கே நிறுத்தி, யோசித்து உங்கள் விடை அல்லது அணுகுமுறை என்னவாக இருக்கும் என்பதை குறித்து வைத்துக் கொள்ளவும். மீதமுள்ள இந்த கட்டுரையை படித்து முடிக்கும் போது, தங்களுக்கு நான் மேலே குறிப்பிட்டுள்ள கேள்விக்கு பதில் கண்டுபிடிக்க பல பாதைகள் புலப்படக் கூடும்.

இந்த உதாரணத்தை நீங்கள் சோதிடத்துடன் வெகுவாக பொருத்திப் பார்க்கலாம். சோதிடத்தில் பார்க்கப்படுவது என்னவோ கிரகங்களும் அவற்றின் நிலைகளும் தான். ஆனால் சொல்லப்படுவது என்னவோ வாழ்க்கை சம்பவங்கள் சார்ந்த பலன்கள் அல்லவா?

இந்த பாகத்தில் என்ன பார்க்கப் போகிறோம்?

இந்தக் கட்டுரையில் சில அடிப்படையான புள்ளியியல் தத்துவங்களை பற்றி பார்க்கலாம். புள்ளியியல் ரீதியில் மாறிகள் (variables) என்றால் என்ன மற்றும் சமன்பாடுகள் (equations) எவ்வாறு பெறப்படுகின்றன என உங்களுக்கு அறிமுகம் செய்வதே இந்த பாகத்தின் நோக்கம்.

இந்த கட்டுரை, புள்ளியியலில் அடிப்படை பரிச்சயம் இல்லாதவர்களுக்கு கடினமாகவும், புள்ளியியல் படித்தவர்களுக்கு சற்று மேலோட்டமாகவும் தோன்றக்கூடும். இந்தக் கட்டுரை, முதல்வகை நபர்களை கருத்தில் கொண்டு எழுதப்படுகிறது. ஆழமான புள்ளியியல் தத்துவ விளக்கங்கள் இந்த வகை வாசகர்களை அந்நியப்படுத்தி விடக்கூடும் என்பதை உணர்ந்து, சற்று மேலோட்டமாகவே எழுதுகிறேன்.

பின்னால் வர இருக்கும் இந்த கட்டுரையின் பிற பாகங்களை புரிந்து கொள்வதற்கு, இந்த கட்டுரை முக்கியமான அடித்தளம் ஆகும். கிட்டத்தட்ட பல ஆண்டுகள் படித்து புரிந்து கொள்ளக்கூடிய புள்ளியியல் பற்றிய விரிந்த அறிவை, ஒரு கட்டுரைக்குள் சுருக்க முயற்சி செய்துள்ளேன். இது உங்களுக்கு ஆர்வம் இல்லை எனில் புரியாமல் போக நிறைய வாய்ப்பு உள்ளது என அறிந்தே எழுதுகிறேன்.

இந்த பாகம், சோதிடத்தில் உள்ள புள்ளியியல் கட்டுமானங்களின் வகை அறிவதற்கு முக்கியமான முன்னுரை ஆகும். எனவே, வாசக நண்பர்கள் சற்று நேரம் ஒதுக்கி இந்த கட்டுரையில் புரியாத சில விடயங்களை பற்றி மீண்டும் மீண்டும் படித்து புரிந்துகொள்ளுமாறு கேட்டுக் கொள்ளப்படுகிறார்கள்.

இந்த கட்டுரைக்கும் சோதிட விதிகள் எப்படி கட்டமைக்கப் பட்டுள்ளன என்ற எனது முந்தைய கட்டுரை தொடருக்கும் நெருங்கிய தொடர்பு உள்ளது. நீங்கள் இதுவரை அந்த தொடரைப் படிக்கவில்லை எனில் அவற்றின் சுட்டிகளை உங்கள் வசதிக்காக இங்கே கீழே கொடுத்துள்ளேன். அவற்றை நேரம் கிடைக்கும் போது படித்து இன்னும் ஆழமான தகவல்களை தெரிந்து கொள்ளவும்.

சோதிட விதிகள் – பாகம் 1: https://aimlastrology.in/2020/01/t004/

சோதிட விதிகள் – பாகம் 2: https://aimlastrology.in/2020/01/t005/

சோதிட விதிகள் – பாகம் 3: https://aimlastrology.in/2020/01/t006/

புள்ளியியல் கணித மாதிரிகள் (Statistical Models) – ஒரு அறிமுகம்

                சமன்பாடுகள் ஒன்றிற்கும் மேலான இரு விடயங்களுக்கு இடையிலான தொடர்பை கணித அடிப்படையில் சுருக்கித் தருகின்றன என்பது நமக்கு தெரியும். இந்த சமன்பாடுகள் உறுதியாகவோ (exact relationship) அல்லது தோரயமாகவோ (approximate) இருக்கலாம்.

Y = f(X_i)

i = 1 to n

என்பது பொதுவாக இரு விடயங்களுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பு உள்ளது என்பதை குறிப்பிட பயன்படும் பொதுவான குறியீடு ஆகும். இதில், Y என்பது விளைவாகவும், X என்பது அதன் காரணிகளாகவும் உள்ளன. i = 1 to n என்பதில் n என்பது காரணிகள் ஒன்றுக்கும் மேற்பட்டவை ஆகவும் இருக்கக்கூடும் என்பதை குறிப்பிடுகின்றது.

இயற்பியல் மற்றும் வேதியியல் போன்ற துறைகளில் பயன்படுத்தப்படும், உயிரற்ற பொருட்களை பற்றிய,  உறுதியான மாறாத சமன்பாடுகளை (exact relationships) பற்றி நீங்கள் படித்து இருப்பீர்கள். உதாரணமாக, நீரின் சமன்பாடு உங்களுக்கு தெரிந்து இருக்கும்.

நீர் = f(ஹைட்ரஜன், ஆக்ஸிஜன்); n = 2   

H₂O = f(H,O) 

2 H + 1 O₂ = 1 H₂O

நீர் என்பது 2 மூலக்கூறுகள் ஹைட்ரஜன் மற்றும் 1 மூலக்கூறு ஆக்ஸிஜன் கொண்டது என்பது ஒரு நிலையான, மேம்போக்கான சமன்பாடு. இதில் நாம் அறிவாக தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது 2:1 என்ற விகிதம் தான். இது போன்ற சமன்பாடுகளில், குறிப்பிட்ட விளைவுகளை, உயிரற்ற ஓரிரண்டு காரணிகளே நிர்ணயிப்பதால் ஒரு வித நிச்சயத்தன்மை சாத்தியம் ஆகும்.

ஆனால், உயிர்ப்பொருட்களை சார்ந்து கணக்கிடப்படும் சமன்பாடுகளில் நிச்சயமான சமன்பாடுகள் என்பவை மிகமிக அரிதானவை. ஒரு செயலுக்கான காரணிகள் ஒன்றுக்கும் மேற்பட்டவையாக இருக்கக்கூடும் என்பதாலும் எல்லா காரணிகளையும் வகைப்படுத்தி, அளவிட முடியாது என்ற காரணத்தாலும், உயிர்ப் பொருட்கள் குறித்த கணித சமன்பாடுகள் எப்போதுமே ஓரளவுக்கு தோராயமானவையாகவும், குறிப்பிட்ட அளவிலான பிழையை கொண்டவையாகவும் உள்ளன. உதாரணமாக, ஒருவரின் ரத்த அழுத்தத்தினை கட்டுப்படுத்தும் காரணிகள்.

மேலும், எல்லா உயிர்பொருட்களுக்கும் முறைமை அற்ற முறைமை (அதாவது தற்செயலாக, அவ்வப்போது ஒழுங்கின்றி நடந்து கொள்ளும் தன்மை – randomness), ஒரு அடிப்படையான பண்பாகும். ஒரே குறிப்பிட்ட தூண்டலுக்கு, எப்போதுமே ஒரே விதமான துலங்களை உயிருள்ள எதுவும், எல்லா காலத்தும் வெளிப்படுத்துவது இல்லை.

இதனாலேயே, எந்த ஒரு உயிரையும் குறித்து செய்யப்படும் அல்லது கணக்கிடப்படும் எந்த ஒரு சமன்பாடுகளும் ஓரளவுக்கு சிறிய பிழையை எப்போதும் தன்னகத்தே கொண்டே இருக்கும். உதாரணமாக, உலகில் உற்பத்தியாகும் எந்த இரு ஆரஞ்சு பழங்களும், எல்லா விதத்திலும், அச்சு அசலாக ஒன்று போல இருக்கவே முடியாது!

நாம் இது போன்ற தோராயமான சமன்பாடுகளை கீழ்கண்டவாறு குறிக்கலாம்.

Y = f(X_i) + e_i

i = 1 to n

இங்கே e என்பது பிழை. அதாவது, உண்மைக்கும் நமது புள்ளியியல் மாதிரியின் விளக்கத்திற்கும் இடையே உள்ள இடைவெளி.

புள்ளியியல் அறிவு, தரவுகளின் ஊடாக இந்த தோராயமான, நமக்கு தெரியாத சமன்பாடுகளை தருவிக்க (derive) உதவுகிறது. ஒரு விளைவை அதன் பல்வேறு காரணிகளுடன், தரவுகள் மூலம் தொடர்பு படுத்தி, அவை இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள தோராயமான கணித உறவை தருவிப்பதில் புள்ளியியல் கணித மாதிரிகள் (statistical/econometric models) மிகப்பெரிய பங்கு வகிக்கின்றன. இந்த மாதிரிகள் (models), ஏற்கனவே கிடைத்துள்ள தரவுகளின் ஊடாக பெறப்பட்டு (derive), உறுதி செய்யப்படுபவை (validated).

மேலும், இந்த கட்டுமானத்தின் உயர் நிலைகளில் (Econometric models) விளைவு(Y), அதன் காரணிகள் (X_i) மற்றும் ஊடாக உள்ள பிழை (e) என்ற மூன்று வகை கூறுகளுக்கும், தனித்தனியாக விரிவான இலக்கணமே சொல்லப்பட்டுள்ளது. அந்த இலக்கண எல்லைகளுக்குள் நின்றே, உயர்நிலை புள்ளியியல் மாதிரிகள் (Econometric models) தருவிக்கப்படுகின்றன மற்றும் தர மதிப்பீடுகள் (evaluate) செய்யப்படுகின்றன.

தரவுகளின் தொடர்புகளின் திரட்சியாக, அதிலிருந்து பெறப்படும் ஞானமாக (wisdom) இந்த சமன்பாடுகள் அமைகின்றன. ஏற்கனவே, நிகழ்ந்த விடயங்கள் புள்ளியியல் ரீதியாக உறுதிப்படுத்தப்பட முடியும் எனில், நாம் அந்த கணித மாதிரிகளைக் கொண்டு இதுவரை பார்வைக்கு வராத, ஒத்த தரவு கொண்ட மற்றொரு புள்ளியை பற்றியும் தீர்மானிக்க முடியும் என்பதன் அடிப்படையில் இந்த சமன்பாடுகள் அல்லது சூத்திரங்கள் செயல்படுத்தப் படுகின்றன.

சோதிடத்தில் தோராயமான சமன்பாடுகள் போதுமா?

உலகிலேயே மிகவும் கடினமான விடயம் எல்லா மனிதர்களையும் எப்போதும் சரியாக புரிந்துகொள்வதும் அவர்களுக்கு எப்போது என்ன நடக்கும் என அறிவதும் தான். ஓரளவுக்கு நம்பும் அளவுக்கு, தோராயமாக எப்போதும் கண்டுபிடிக்க முடிந்து விட்டாலே, அதனை மிகப்பெரிய சாதனை எனலாம். 

இன்றைக்கு நாம் பயன்படுத்தும் பெரும்பாலான பொருட்கள், பயனாளிகளை பற்றிய தோராயமான அனுமானத்தின் அடிப்படையிலேயே சந்தைப் படுத்தப்படுகின்றன. உதாரணத்திற்கு உயிர் காக்கும் மருந்துகள், வாகனங்கள், காலணிகள், காப்பீடு திட்டங்கள், கடன் அட்டைகள், உங்களுக்கு வரும் யூடியூப் காணொலி பரிந்துரை, முகநூல் விளம்பரங்கள் என வணிகம் சார்ந்து எடுக்கப்படும் பலவிதமான முடிவுகளிலும் இந்த தோராயமான ஆனால் மதிப்பீடு செய்யப்பட்ட அனுமானங்களே (guesstimate) பின்புலத்தில் இருந்து இயக்குகின்றன என்பது உங்களுக்கு தெரியுமா?

இந்த அடிப்படையில் பார்த்தால், சோதிடத்தை நாம் மனிதனின் புள்ளியியல் போன்ற ஒரு அறிவினை சேர்ந்த மிகப்பெரிய கண்டுபிடிப்பு என்றே சொல்ல வேண்டும். வானில் நிகழும் கிரக மாற்றங்களின் அடிப்படையில் ஒருவருக்கான பிறப்பு ஜாதகத்தை நிர்ணயித்து, பின்னர் அந்த கிரக நிலைகளில் ஏற்படுகின்ற தொடர்ச்சியான மாற்றத்தின் அடிப்படையில் தனிப்பட்ட மக்களின் வாழ்வில் நிகழும் சம்பவங்களை கணிப்பது என மாறுகின்ற வானியல் தரவுகளுக்கும், வாழ்க்கைச் சம்பவங்களுக்கும் இடையிலான தொடர்பினை நிறுவ முற்படுவதே சோதிடம் என ஒரு புள்ளியியல் ரீதியான பார்வையை முன்வைக்க வலுவான பின்புலம் உள்ளது. இதில் ஜோதிட விதிகள் என்பவை இறுதியான விளைபொருள் ஆகும். ஜோதிட விதிகளை, ஒரு குறிப்பிட்ட ஜோதிட கட்டுமானத்தை சேர்ந்த புள்ளியியல் மாதிரியின் திரண்ட அறிவு அல்லது ஞானம் என நாம் எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

சோதிடம் ஒரு சிக்கலான கணித சாத்திரம் என்று நாம் அனைவரும் அறிவோம். ஆனாலும் கூட, அதனை நாம் தரவு அறிவியல் கண்கொண்டு உற்று நோக்கினால், அதன் கட்டுமானம் எந்த அளவுக்கு இன்றைய நவீன தரவு அறிவியலின் கூறுகளையும், புள்ளியியல் தத்துவங்களையும், சமன்பாடுகளையும் தன் அடிப்படை கூறுகளாக கொண்டுள்ளது என்பது நன்கு விளங்கும்.

இப்போது நான் உங்களுக்கு புள்ளியியலின் சில மிகவும் அடிப்படையான கலைச்சொற்களை (technical terms) அறிமுகம் செய்து, பின்னர் புள்ளியியல் மாதிரிகள் எவ்வாறு பெறப்படுகின்றன என்பதை பற்றி சுருக்கமான குறிப்பினை தருகிறேன்.

சில அடிப்படை புள்ளியியல் கலைச்சொற்கள்:

தரவு –> தகவல் –> அறிவு –> ஞானம் (Data –> Information –> Knowledge –> Wisdom):

தரவுகள்(data) அடிப்படையில் எண்ணாகவோ (numerals), எழுத்தாகவோ (letters) அல்லது இவை இரண்டின் சேர்க்கையாகவோ (alphanumeric) இருக்கலாம். இறுதியான புள்ளியல் மாதிரிகளை கட்டமைக்கும் போது எழுத்து வடிவிலான மாறிகளையும், எண்கள் வகையிலான மாறிகள் ஆக மாற்றிய பின்னரே புள்ளியல் மாதிரிகள் கட்டமைக்கப்படுகிறன.

தரவுகளே (data) முடிவுகளின் (decisions) அடிப்படை ஆகும். இவை அளவில் மிகவும் அதிகமானவை. தனித்த, தொடர்பு படுத்தப்படாத தரவுகள் எந்த அர்த்தத்தையும் சுமப்பதில்லை. உதாரணம்: உயரம் 175 சென்டிமீட்டர். தனித்த நிலையில் இதற்கு எந்த அர்த்தமும் இல்லை.

தரவுகள்(data) தொடர்பு பட்டு நிற்கும்போதே, அவை தகவல் (information) ஆக வளர்ச்சி பெறுகின்றன. இந்த நிலையில் தரவுகள் குறைந்த பட்சம் இரண்டு தரவுப் புள்ளிகளை இணைக்கின்றன. உதாரணம்: குறிப்பிட்ட ஒருவரின் உயரம் 175 சென்டிமீட்டர்.  இதில் குறிப்பிட்ட ஒரு நபரோடு, அவரின் உயரம் இணைகிறது.

தகவல்கள் மேலும் செறிவூட்டப்பட்டு,  மிகவும் நன்றாக தொடர்பு படுத்தப்பட்டு குறிப்பிட்ட துறை சார்ந்த அறிவாகவும் (knowledge), அந்த அறிவின் அனுபவமுதிர்ச்சியின் ஊடாக பெறப்படும் முடிவுகளை எட்ட மற்றும் கட்டுப்படுத்த உதவும் உத்திகள் ஞானமாகவும் (wisdom) வளரலாம்.

மாறி (variable):

மனிதருக்கு மனிதர் மாறக்கூடிய வாய்ப்பு உள்ள (மாறுகின்ற தரவுகளை கொண்ட) ஒரு குறிப்பிட்ட பண்பை அல்லது பொருளை அல்லது நிலையை அடையாளப்படுத்தும் குறியீடு. மாறிகள் வெவ்வேறான அலகுகளால் குறிக்கப்படலாம். உதாரணமாக, ஒரு நபரின் உயரம், எடை, ரத்த வகை, பாலினம், மொழி, பொருளாதார நிலை போன்றவை யாவும் தனித்தனியான, நபருக்கு நபர் மாறுபடும் மாறிகள் ஆகும்.

மாறிகளின் வகைகள்:

மாறிகள் அவை தக்கவைத்துக் கொள்ளக்கூடிய தரவுகளின் வகையின் அடிப்படையில் நான்கு விதங்களாக பிரிக்கப்படலாம். அவற்றின் பெயர்களும் பண்புகளும் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

தொடர்ச்சியான மாறி (Continuous variable):

இந்த வகை, முழு எண் மற்றும் தசம புள்ளிகளை தன்னகத்தே கொண்டவை (numbers with decimals). உதாரணமாக, ஒருவரின் உயரமானது சென்டிமீட்டர் அளவில் குறிப்பிடப்படும் போது, தொடர்ச்சியான எந்த ஒரு மதிப்பையும் பெறக்கூடும். உதாரணமாக, ஒருவரின் உயரம் 170 சென்டிமீட்டர் மற்றும் 25 மில்லிமீட்டர் என்று குறிப்பிடப்படலாம் (170.25 cm). 

மேலும் இந்தவகை மாறிகள் எதிர்மறை எண்கள் ஆகவும் குறிப்பிடப்படலாம். உதாரணம் கடல் மட்டத்தில் இருந்து கடலின் ஆழம் -23.20 மீ என்பது எதிர்மறையாக குறிக்கப்படும் ஒரு மாறி ஆகும் (negative and continuous values). சோதிடம் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட காலத்தில் எதிர்மறை எண்களாக குறிப்பிடும் பழக்கம் இல்லாத காரணத்தால், இனிமேல் நான் எடுத்துக்காட்டுகளை நேர்மறை தரவுகளோடு மட்டுமே உதாரணமாக குறிப்பிடுவேன்.

இந்தவகை மாறிகளின் மீது நாம் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என நான்கு வித கணித முறைகளையும் பயன்படுத்தலாம். மிகவும் துல்லியமாக மாறக்கூடிய மதிப்புகளை கூட, இந்தவகை மாறிகளின் மூலம் நம்மால் தரவு படுத்த இயலும். இவ்வகை மாறிகள், நாம் மேலும் பார்க்க உள்ள, பிற 3 வகை மாறிகளாக எளிதில் மாற்றப்படலாம். இந்த வகை மாறிகள், பாரம்பரிய சோதிடத்தில் குறைவாகவே பயன்படுத்தப்பட்டு உள்ளன. ஆனால், தற்கால சோதிடத்தில் இவற்றின் பயன்பாடு பல இடங்களில் காணப்படுகிறது.

சோதிட உதாரணம்: பாகை சம்பந்தப்பட்ட தரவுகள்.

முழு எண் அல்லது முழு எண்களை மட்டும் பெறக்கூடிய மாறி (integer variable):

இந்தவகை மாறிகள், நேர்மறையாகவோ அல்லது எதிர்மறையாகவோ இருக்கக்கூடும். ஆனால், அவை முழு எண்களாக மட்டுமே இருக்கும். இவையும் கூட ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கை அளவிலேயே இருக்கின்றன. இவ்வகை மாறிகளின் மீதும் நாம் நான்கு விதமான கணித முறைகளையும் பயன்படுத்த முடியும். இருப்பினும் இந்த வகை மாறிகளை, நாம் மேலே சொன்ன தொடர்ச்சியான மாறியை விட சற்று துல்லியம் குறைந்தவை என்றே கருத வேண்டும். உதாரணமாக, 1.5 என்ற எண்ணை நாம் 1 என்றும் கணக்கிடலாம் அல்லது 2 என்றும் கணக்கிடலாம்.

இந்த வகை கட்டுமானம் மிகவும் பரவலான அளவில் சோதிடத்தில் பயன்படுத்தப்பட்டு உள்ளது. இவ்வகை மாறிகள் சோதிடத்தின் முக்கிய அடிப்படை எனலாம்.

சோதிட உதாரணம்: பாவக எண், நட்சத்திர எண் போன்றவை.

ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட வரிசையில் அமைக்கப்பட்ட அல்லது வகைப்படுத்தப்பட்ட மாறி (Categorical variable):

இவை எண்களாகவோ அல்லது எழுத்துக்களாகவோ குறிக்கப்படலாம். இந்தவகை மாறிகளில், வரிசையில் இட அமைப்பு மட்டுமே முக்கியம். அவை கொண்டுள்ள தரவு எண்களை நேரடியாக கணித சமன்பாடுகளில் பயன்படுத்த இயலாது. உதாரணமாக, பொது மக்களின் பொருளாதார நிலை என்ற மாறியை நாம் கருதுவோம். இதனை ஏழைகள், நடுத்தர வர்க்கம் மற்றும் பணக்காரர்கள் என்று மூன்று வகைகளாக எழுத்துக்களால் குறிப்பிடுவதாக நாம் கருதுவோம். இந்த எழுத்துக்கள் வகையிலான தரவினை வரிசைப்படுத்தி எண்களாகவும் குறிக்க முடியும்.

உதாரணமாக, 1 என்பது ஏழைகளை குறிக்கவும் 2 என்பது நடுத்தர மக்களையும், 3 என்பது பணக்காரர்களை குறிக்கவும் குறியீடு செய்யப்படலாம். அல்லது இதற்கு நேர்மாறாகவும் குறிப்பிடலாம். இதில் எண்களாக மாற்றப்பட்ட தரவு, வரிசைக்கிரமத்தை குறிப்பிட மட்டுமே பயன்படும். இந்தவகை எண்களை நேரடியாக எல்லாவிதமான கணித முறைகளிலும் பயன்படுத்தி விட முடியாது. உதாரணமாக, ஏழை (1) + நடுத்தர வர்க்கம் (2) = பணக்காரர் (3) என ஆகி விடாது!

சோதிட கட்டுமானங்கள் இது போன்ற வகைப்படுத்தப்பட்ட மாறிகளால் நிறைந்து உள்ளது.

சோதிட உதாரணம்: கிரகங்களுக்கு இடையிலான உறவுகள்: அதி நட்பு, நட்பு, சமம், பகை, தீவிர பகை போன்றவை.

பெயரளவு மாறி (nominal variable):

இறுதியாக, நாம் பார்க்கும் இந்த பெயரளவு மாறிகளை தனிப்பட்ட பண்புகளை குறிப்பிடும் ஒரு குறியீடாக மட்டுமே எடுத்துக்கொள்ள முடியும். உதாரணமாக, நான் மேலே சொன்ன மனிதர்களின் பெயர்கள், இரத்த வகை, பாலினம் போன்றவை இந்த வகை மாறிகளை சேர்ந்தவை. இவற்றில் எந்தவிதமான வரிசைப்படுத்துதலோ, உயர்ந்தது அல்லது தாழ்ந்தது போன்ற தரவரிசையோ இல்லை. இவை உருவாக்கப்பட்டதற்கு பலவிதமான காரணங்கள் அல்லது விளக்கங்கள் சொல்லப்படலாம். இந்த மாறிகளை எண்ணிக்கை அளவில் மட்டுமே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள முடியும். மற்றபடி இவற்றைப் பயன்படுத்தி, பெரிய அளவிலான புள்ளியியல் கணக்கீடுகளை நேரடியாக செய்ய இயலாது.

இந்தவகை மாறிகள் சோதிடத்தில் அதிக அளவில் பயன்படுத்தப் பட்டுள்ளன என்றே சொல்ல வேண்டும்.

சோதிட உதாரணம்: கிரகங்களுக்கு ஒதுக்கப்பட்டுள்ள வீடுகள், கிரக காரகங்கள், உச்ச நீச்ச வீடுகள் போன்றவை.

இரட்டைத் தன்மை கொண்ட மாறி (Binary variable or Dummy variable):

இது ஒரு சிறப்பு வகையை சேர்ந்தது. வகைப்படுத்தப்பட்ட மாறி (categorical variable) மற்றும் பெயரளவு மாறி (nominal variable) ஆகிய இரண்டு வகை மாறிகளையும், நாம் மேலும் பகுப்பு செய்து ஒவ்வொரு விதமான உப மதிப்புக்கும், இரட்டைத் தன்மையை (0,1) கொண்ட ஒரு மாறியாக மாற்றி பயன்படுத்த முடியும். எழுத்து உருவில் உள்ள தரவுகளை எண்களாக மாற்ற இந்த உத்தி பயன்படுகிறது.

சோதிட உதாரணம்: ஆண் ராசி, பெண் ராசி போன்ற சோதிட கட்டுமானங்கள்.

மாறிகளுக்கு இடையே உள்ள தொடர்புகள்:

தரவுகள் தகவலாகவும் அறிவாகவும் பயன்கூட வேண்டும் எனில், அவை தொடர்புபடுத்தப் படவேண்டும் எனப் பார்த்தோம். தரவுகளை தாங்கி நிற்கும் இரு மாறிகளை தொடர்புபடுத்த வேண்டும் எனில், அவை இரண்டில் ஒன்றில் ஏற்படும் மாற்றம், மற்ற ஒரு மாறியில் குறிப்பிடத்தக்க மாற்றத்தை ஏற்படுத்தவேண்டும் அல்லது அதனுடன் தொடர்பு பெற்றிருக்க வேண்டும். இந்த தொடர்பு நேர்மறையாகவோ அல்லது எதிர்மறையாகவோ இருக்கலாம்.

அதாவது, ஒரு மாறி அளவில் உயரும்போது, அதனுடன் நாம் தொடர்புபடுத்தும் அடுத்த மாறி உயரவேண்டும் அல்லது குறைய வேண்டும். இந்த மாறும் விகிதமே (rate of change) இரு மாறிகளுக்கு இடையிலான தொடர்பின் வலிமையை உறுதிப்படுத்துகிறது. இரு மாறிகளுக்கு இடையிலான தரவுகளின் பரவல் கீழ்கண்ட வகைகளில் அமையலாம்.

1. நேர்மறை நேர்கோட்டு தொடர்பு பரவல்

இந்த உதாரணத்தில் உயரம் அதிகம் ஆகும்போது எடையும் அதிகம் ஆகிறது. அல்லது எடை அதிகம் ஆகும்போது உயரமும் கூடுகிறது.

2. எதிர்மறை நேர்கோட்டு தொடர்பு பரவல்

இந்த படம், விலை அதிகம் ஆகும்போது அதற்கான விற்ற அளவு குறைவாக உள்ளதை காட்டுகின்றது. இது எதிர்மறை தொடர்பு ஆகும்.

3. நேர்கோடல்லாத தொடர்பு பரவல்

இந்த படத்தில், மாறி 1 மற்றும் மாறி 2இன் தரவுகள் இரண்டும் சேர்த்தே பரவல் ஆகி உள்ளன. ஆனால், அந்த பரவல் ஒரு நேர்கோட்டில் அமையாமல் ஒரு வளைகோட்டு பாதையைப் போல அமைந்து உள்ளது.

4. குறிப்பிட்ட தொடர்பற்ற பரவல்

மேற்கண்ட படத்தில் மாறி 1-க்கும் மாறி 2-க்கும் இடையில் எந்த தொடர்பும் இருப்பது போல் தெரியவில்லை. எனவே, இவற்றில் ஏதாவது ஒன்றில் ஏற்படும் மாற்றத்தை பொறுத்து, மற்றதன் போக்கையோ அல்லது அளவையோ ஊகிக்க முடியாது.

இரு மாறிகளுக்கு இடையே உள்ள மாறும் தரவு புள்ளிகளை இரு பரிமாண வெளியில் காட்சிப்படுத்தும்போது, அவற்றிற்கு இடையே உள்ள இருபரிமாண தொடர்பு, நேர்கோட்டு பரவல் வடிவமாகவோ அல்லது வேறுவிதமான ஒழுங்கான ஒரு பரவல் வடிவிலோ அமைய வேண்டும். அவ்வாறு அமையும் பட்சத்தில், அவை இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள தொடர்பினை நாம் ஒரு புள்ளியியல் சமன்பாடாக தொடர்புப் போக்குப்பகுப்பாய்வு (Regression) மூலம் கண்டறிய முடியும். இந்த தொடர்பை கண்டுபிடிக்க, புள்ளியியல் முறையில் மாறிகளின் வகைகளைப் பொறுத்து, பலவித மாறுபாடான முறைகள் உள்ளன.

என் கேள்விக்கான விடை

நாம் இதுவரை பார்த்த புள்ளியியல் தத்துவங்கள் அடிப்படையில், நாம் இந்த கட்டுரையின் ஆரம்பத்தில் பார்த்த கேள்விக்கான விடையை இப்போது எப்படி கண்டுபிடிப்பது என்று பார்ப்போம்.

என் கேள்விக்கு விடை அளிக்க பலவித வழிகள் உள்ளன என்று சொல்லி இருந்தேன். இதோ அவற்றில் சில. இதில் நீங்கள் எதை யோசித்து வைத்திருந்தீர்கள் என நீங்களே ஒப்பீடு செய்து கொள்ளுங்கள். இவற்றை தாண்டி வேறு ஏதேனும் உங்களுக்கு தோன்றி இருந்தால், பின்னோட்டத்தில் தயக்கமின்றி தெரியப்படுத்துங்கள்.

அணுகுமுறை 1:

நீங்கள் உங்களது உயரம், இடுப்பின் சுற்றளவின் அடிப்படையில் அனுமானித்து தோராயமாக ஓவ்வொரு நபருக்கும் ஒரு எடையை கூறலாம். இந்த முறையில் முக்கிய பிரச்சினை என்னவெனில், நீங்கள் எடையைச் சொல்லும்போது எதிரில் உள்ளவர் உங்களை விட உயரமோ அல்லது பருமனோ மாறுபட்டவராக இருந்தால் உங்கள் கணிப்பில் பிழை வர வாய்ப்பு அதிகம். மேலும் மாற்று பாலின நபரை பற்றிய உங்கள் கணிப்புகள் பெரும்பாலும் தவறாக போகக்கூடும்!

அணுகுமுறை 2:

நீங்கள் உங்களிடம் நேர்காணல் நடத்துபவரிடம் சராசரி ஆண்கள் மற்றும் பெண்களின் சராசரி எடையை கூறும்படி கேட்டு அதையே உங்கள் பதிலாக இரு பாலினத்தவருக்கும் சொல்லலாம். இதிலும் நீங்கள் கண்டிப்பாக பிழை படுவீர்கள். ஆனாலும், பலருக்கும் ஒரே பதிலை நீங்கள் சொல்லும் போது, உங்கள் மொத்த பிழை அளவு நாம் மேலே பார்த்த அணுகுமுறை 1 இன் விடையை விட கண்டிப்பாக குறைவாகவே இருக்கும். எனவே, இது சற்று மேலான முறை ஆகும்.

அணுகுமுறை 3:

நீங்கள் நேர்காணல் நடத்துபவரிடம், அளவிடும் பட்டை கொண்டு அளக்கக்கூடிய உடல் பாகங்கள் பற்றிய தூரங்களுக்கும் நபர்களின் எடைக்கும் இடையே உள்ள தொடர்புகளினைப் பற்றிய சமன்பாடுகள் அல்லது விதிகள் ஏதேனும் உள்ளனவா எனக் கேட்கலாம். அதனுடன் கூடவே, அந்த சமன்பாடுகளின் நம்பகத்தன்மை பற்றிய புள்ளியியல் தரவுகளையும் கேட்கலாம்.

நீங்கள் பெறுகின்ற தகவல்களின் அடிப்படையில், உங்களுக்கு கொடுக்கப்படும் பல சமன்பாடுகளில் (சூத்திரங்கள்) இருந்து ஒரு சிறந்த சமன்பாட்டை தேர்வு செய்து, அதன் அடிப்படையில் நீங்கள் உங்கள் எதிரில் இருப்பவரின் குறிப்பிட்ட பாகங்களின் அளவின் அடிப்படையில் எடையை கணக்கீடு செய்யலாம். இவ்வாறு செய்யும் போது, உங்கள் பதிலுக்கும் உண்மையான எடைக்கும் இடையே உள்ள பிழை, மேலே பார்த்த இரு முறைகளை விடவும் குறைவாகவே இருக்கும். இந்த சமன்பாடு அல்லது விதி அல்லது சூத்திரம், முழுக்க முழுக்க தரவுகளின் அடிப்படையிலேயே அமைந்து இருப்பதால், தனி நபர் மூலம் ஏற்படக்கூடிய பிழைகள் மற்றும் மாறுதலான பதில்கள் இந்த முறையில் ஏற்பட வாய்ப்பு குறைவு.

அணுகுமுறை 4:

 உங்களுக்கு புள்ளியியல் துறையில் ஆழ்ந்த பயிற்சியும், உங்களிடம் அத்துறையில் மாதிரிகளை உருவாக்கும் மென்பொருட்களும், தொழில் அறிவும் இருக்கும் பட்சத்தில், நீங்கள் நேர்காணல் நடத்துபவரிடம் விதிகளுடன் சேர்த்து, விதிகளை கண்டுபிடிக்க உதவிய தரவுகளையும் தரச் சொல்லிக் கேட்கலாம். நீங்கள் அந்த தரவுகளை மேலும் ஆழ்ந்து அணுகி, ஏற்கனவே உள்ள சமன்பாடுகள் போதுமானதாக மற்றும் சரியாக உள்ளனவா என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளலாம். தேவையெனில், அந்த விதிகளை உங்களால் மேம்படுத்தக்கூட முடியலாம். இந்த அணுகுமுறையில் சற்று நேரம் அதிகம் ஆகும். ஆனால் மொத்த பிழை, நாம் மேலே பார்த்த 3 முறைகளை விட மேலும் குறைவாகவே இருக்கும்.

நாம் இதுவரை பார்த்த நான்கு முறைகளில், இதுவே மேலான, அறிவியல் பூர்வமாக ஏற்றுக்கொள்ளக் கூடிய மற்றும் யார் வேண்டுமானாலும் நிரூபிக்கக்கூடிய முறை ஆகும். உங்களுக்கு விடை அளிக்க கொடுக்கப்படும் நேரம் மற்றும் தேவைப்படும் முடிவுகளின் துல்லியத் தன்மை பொறுத்து நீங்கள் அணுகுமுறை 2 அல்லது 3 அல்லது 4ஐ தேர்வு செய்து பதில் அளிக்கலாம்.

சோதிட விதிகளின் புள்ளியியல் சார்ந்த ஒப்பீடு

நீங்கள் இதுவரை பார்த்த புள்ளியியல் விளக்கங்களை இப்போது சோதிட விதிகளோடும், பலன் சொல்லும் உத்திகளோடும் ஒப்பீடு செய்து பாருங்கள். இவை இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள மாபெரும் தொடர்பு உங்களுக்கு புலப்படக்கூடும்.

இன்றைய தேதிக்கு சோதிடத்தில் நம்மிடம் இருப்பவை என்னவோ நம் முன்னோர்கள் நமக்கு தந்த சூத்திரங்கள் மற்றும் விதிகள் மட்டுமே. அவை எண்ணிறந்தவை ஆக இருக்கின்றன. மற்றும் அவை தனித்தனியாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு குறிப்பிட்ட விளைவை பல காரணிகள் ஏற்படுத்தக்கூடும் எனில் அந்த காரணிகளில் எவை மிகவும் முக்கியம் மற்றும் எவை எல்லாம் இரண்டாம் பட்சம் போன்ற உறுதிப்படுத்தப்பட்ட தரவுகள் எதுவும் சோதிடத்தில் நம்மிடம் இன்றைக்கு இல்லை. ஆனால் அவை நாளடைவில், தொடர்ச்சியான முயற்சியின் மூலம் உருவாக்கப்படலாம் என்பது என் அசைக்க முடியாத நம்பிக்கை ஆகும்.

இந்த நேரத்தில் நீங்கள் கவனிக்க வேண்டிய முக்கியமான ஒரு எச்சரிக்கையை நான் இப்போது உங்கள் முன் வைக்கிறேன். புள்ளியியல் மாதிரிகளில் அவற்றின் நம்பகத்தன்மை பற்றிய தரவுகளும் சேர்ந்தே பெறப்படலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட விளைவில், அதன் காரணிகளின் பங்கு என்ன என்பது என்பதும் கூட கணக்கிடப்படலாம்.

ஆனால், சோதிடத்தில் அது போல எதுவும் இன்று நம்மிடம் இல்லை! யாரோ, எப்போதோ சொன்ன சூத்திரங்களைத்தான் நாம் நம்பி காலம் காலமாக சோதிட பலன்களை சொல்லிக்கொண்டு இருக்கிறோம். நம் முன்னோர்கள் பயன்படுத்திய அதே கட்டுமானங்களை வைத்து நாமும் கூட மேலான சூத்திரங்களை உருவாக்க முடியும் என்ற தெளிவு இல்லாமல், மேம்போக்காகவே சோதிடத்தை கடத்தி வருகிறோம்.☹

நான் இந்த கூற்றை, இந்த கட்டுரையின் அடுத்த பாகத்தில், நாம் மேலே பார்த்த உயரம் மற்றும் எடை உதாரணம் மூலம் தனிக்கட்டுரையாக விளக்கமாக எழுதுகிறேன். இந்த கட்டுரையின் அடுத்த பாகம் புள்ளியியல் மாதிரிகள் உருவாக்குவது பற்றியது. ஒரு மாதிரி தரவு தொகுப்பின் அடிப்படையில் எவ்வாறு புள்ளியியல் மாதிரியை உருவாக்கலாம் மற்றும் அதன் விளைபொருட்கள் என்னென்ன மற்றும் அவற்றின் பயன் என்ன என்பதை பற்றி அடுத்த பாகத்தில் பார்க்கலாம்.

இந்த இரண்டாம் பாகத்தை இங்கே நிறைவு செய்கிறேன். இதுவரை நீங்கள் முழுதாக படித்து இருந்தாலே அது பெரிய விடயம் என்று தான் சொல்ல வேண்டும்.

பின்னூட்டங்கள் மற்றும் பகிர்வுகள் வரவேற்கப்படுகின்றன. நன்றி!