---

---

புள்ளியியல் பார்வையில் அஷ்டகவர்க்கம் – நிறைவு பாகம் (இந்திய சோதிட முறைகளில் புள்ளியியல் கட்டுமானங்கள்: பாகம் 19)

அஷ்டகவர்க்கம் குறும்தொடரில் இது நிறைவு பாகம் ஆகும். இதன் முந்தைய பாகத்தில் அஷ்டக வர்க்கத்தின் 6 படி நிலைகளில், முதல் மூன்று நிலைகளாகிய பின்ன, பிரஸ்தார மற்றும் சர்வ அஷ்டக வர்க்கம் பற்றி பார்த்தோம். இந்தப் பாகத்தில் திரிகோண சுருக்கம், ஏகாதிபத்திய சுருக்கம் மற்றும் பிண்ட சுருக்கம் பற்றி புள்ளியியல் பார்வையில் பார்க்கலாம்.

இந்தக் கட்டுரையின் முதல் இரண்டு பாகங்களை படித்தபின், இந்த பாகத்தை படிப்பது உங்களுக்கு நல்ல தொடர்ச்சியை தரும். நமது வலைத்தளம் ஆரம்பித்து, மூன்றாம் ஆண்டில் முதல் கட்டுரையை வெளியிடுவதில் மகிழ்கிறேன். இந்தப் பாகம் எழுத சற்று காலதாமதம் ஆகிவிட்டது.

இந்தக் கட்டுரை பாகம், அஷ்டக வர்க்கத்தை ஆய்வு நோக்கில் ஆழமாக புரிந்து கொள்ள விரும்பும் உயர்நிலை வாசகர்களை இலக்காக வைத்து எழுதப்படுகிறது. எனவே, அடிப்படை அளவில் உள்ளவர்கள் இந்த கட்டுரை முதலில் பிடிபடவில்லையெனில் மிகவும் போராடாமல் அறிந்தவரை புரிந்து கொள்ளுங்கள். அதற்கான காலம் உங்களுக்கு வரும்போது, இந்தக் கட்டுரை உங்களுக்கு முழுதும் விளங்கக்கூடும். இதனை படிக்க பொறுமை அவசியம் தேவை!

அஷ்டகவர்க்க முறையின் புள்ளியியல் பரிமாணங்களை அலசுவதே இந்த தொடரின் நோக்கம். அஷ்டகவர்க்க பலன்கள் என்ன என்று விவரிப்பது இந்த கட்டுரை தொடரின் நோக்கமன்று என்பதை இங்கே நினைவில் இருத்தவும்.

இந்த கட்டுரையில் பயன்படுத்தியுள்ள சில கலைச்சொற்களின் ஆங்கில மொழியாக்கம் கீழே உள்ளது.

• மாறி (Variable)
• பரிமாணம் (Dimension)
• அணி /அணிகள் / அணிக்கோவை (Matrix / Matrices / Matrix Algebra)
• ரேகை = சுப பரல்கள் (Rekha)
• கரணம் (Karana) / பிந்து = அசுப பரல்கள் (Bindu)
• (பரிமாண) சுருக்கம் = Reduction (more specifically ‘Dimension’ Reduction)

அஷ்டகவர்க்கம் – 6 படிநிலைகள் தொடர்ச்சி 

அஷ்டக வர்க்க கணிதத்தில் ஆறுவித படிநிலைகள் (6 steps) உள்ளன என்று பார்த்தோம். அதன் படம் கீழே கொடுத்துள்ளேன். இதன் ஒவ்வொரு படிநிலையில் கணக்கிடப்படும் மதிப்புகளை வைத்தும், விதவிதமான பலன்கள் சொல்லப்படலாம். இந்தக் கட்டுரையில் படிநிலைகள் 4 முதல் 6 வரை ஒவ்வொன்றையும் புள்ளியியல் ரீதியாக புரிந்துகொள்ளத் தலைப்படுவோம்.

சர்வ அஷ்டக வர்க்கம் பயன்பாட்டில் உள்ள அளவுக்கு பிற கூறுகள் அதிக ஜோதிடர்களால் பயன்படுத்தப்படுவது இல்லை. இருப்பினும் திரிகோண சுருக்கம், ஏகாதிபத்திய சுருக்கம் மற்றும் பிண்ட சுருக்கம் ஆகியவையும் இந்த முறையின் பிற முக்கிய படிநிலைகள் ஆகும். இவை ஆயுள் கணிதம் தொடர்பான பலன்கூறுதலில் பயன்பாடு உடையவை.

இவற்றின் பின்னே உள்ளே புள்ளியியல் கணித தத்துவங்கள் முழுதும் தெரியாமலேயே இருப்பதும், இவற்றை மட்டும் தனியாக, விரிவாக பலரும் பயன்படுத்தாததும் அதற்கு காரணமாக இருக்கக் கூடும். இந்தக் கூறுகளின் புள்ளியியல் தத்துவ மேன்மையை இந்தக் கட்டுரையில் விளக்கப் போகிறேன்! வாருங்கள், நேரடியாக கட்டுரை உள்ளே நுழைவோம்.

அஷ்டவர்க்கம் படிநிலை 4: திரிகோண சுருக்கம் (BPHS Vol-2 இல் அத்தியாயம் 69)

ஒரு கிரகம் பெறும் பிரஸ்தார அஷ்டகவர்க்க மதிப்புகள் அடிப்படையில் இது கணக்கிடப்படுகிறது. இதனை பற்றி விளங்கும் முன்னர் கொஞ்சம் புள்ளியியல் பேசுவோமா? 😊

ராசி பகுப்பின் அடிப்படை சித்தாந்தம்

360 பாகை கொண்ட ஒரு முழு வட்டமான கிரகணப்பாதை 12 ராசிகள் என்ற 30 பாகை அளவிலான தொகுப்பால் பிரிக்கப்பட்டுள்ளதை அறிவோம். இந்த 12 ராசிகளும் மேலும் 2, 3, 4 என்ற சிறு அளவிலான குழுப்படுத்தும் வகைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளதை அறிவோம். உதாரணமாக, ஆண் பெண் ராசிகள் என்ற வகைப்பாடு இருவகை கூறுபடுத்தும் உத்தி ஆகும்.

சரம், ஸ்திரம், உபயம் என்ற ராசி வகைகள் 3 வகையாலான தொகுதிப்படுத்தும் உத்தியாம். நான்கு திசைகள் அல்லது நான்கு பூதங்கள் (நெருப்பு, நிலம், நீர், காற்று) என்ற தொகுதி 12 ராசிகளை 4 பெரும் பிரிவுகளாக தொகுதிப்படுத்தும் உத்தியுமாகும். இவை மூன்றும் (2, 3 & 4 என்ற வகைப்பாடுகள்) ஒன்றோடு ஒன்று சேரும்போது அது 12 தனித்துவமான தொகுப்புகளாக (மீச்சிறு மதிப்பு – Least Common Multiplier) விரியும்.

உதாரணமாக, மேஷம் என்பது ஆண்-சரம்-கிழக்கு/நெருப்பு ராசி ஆகும். அதுவே, விருச்சிகம் என்பது பெண்-ஸ்திரம்-வடக்கு/நீர் ராசி ஆகும். இதுபோல எந்த ராசியை எடுத்தாலும் அது பிற எந்த ராசியைப்போல அல்லாமல் இந்த 3 கூறுகளின் அடிப்படையில் தனித்துவமாக இருப்பதை பார்க்கலாம். இதுபோன்ற குறைவான கூறுகளால் ஆன தொகுதிப்படுத்துதல் அல்லது பரிமாணப்படுத்துதல் புள்ளியியல் சமன்பாட்டில் மாறிகளை/பரிமாணங்களை (variables/dimensions) குறைக்க உதவும் புள்ளியியலில் மிகவும் ஆதாரமான கட்டுமான அமைப்பு ஆகும்.

முந்தைய வர்க்க சக்கரம் கட்டுரையில் இந்த சிறுசிறு கூறுகளை விதம் விதமாக இணைத்து எண்ணற்ற தனித்துவமான மாறிகள் / கட்டுமான தொகுப்புகள் (அதாவது வர்க்க சக்கரங்கள்) உருவாக்கப்பட்டுள்ளதை விளக்கி இருந்தேன். ஞாபகம் இருக்கிறதா? நிற்க! இந்த பரிமாணங்களை பற்றிய புள்ளியியல் அடிப்படை அறிவு, இந்த திரிகோண சுருக்கம் என்பதை விளங்கிக் கொள்ள மிகவும் தேவை.

திரிகோண சுருக்கத்தின் புள்ளியியல் விளக்கம்

எனது முந்தைய ஒரு கட்டுரையில் பரிமாண சாபம் (Curse of dimensionality) என்பதைப் பற்றி விரிவாக விளக்கி உள்ளேன். எந்த ஒரு சமன்பாட்டிலும் (statistical model) விளைவை விளக்க உதவும் மாறிகள் (explanatory variables), எண்ணிக்கையில் குறைவாக இருப்பது (fewer variables) சிறப்பு என்பதை அறிந்தோம். அது குறைவான தரவு மாதிரிகள் (low sample size) இருந்தாலும், நாம் விளக்க முயலும் சமன்பாட்டின் நம்பகத்தன்மையை (explanatory power of a model) அதிகரிக்க உதவும் அடிப்படை ஆகும் என்பதையும் விளக்கி இருந்தேன்.

ஒரு புள்ளியியல் கணித மாதிரியில் ஒரே மாதிரியான மாறிகளை குறைக்க உதவும் உத்தி பரிமாண சுருக்கம் (variable / dimension reduction) ஆகும். இந்த சுருங்க சொல்வது (optimal number of dimensions) என்பது புள்ளியியல் கணித சமன்பாடுகளில் மிகவும் முக்கியம் ஆகும். அதன் அடிப்படையில் இந்த திரிகோண சுருக்கத்தை (trikona reductions) விளங்க முயற்சிக்கவும்.

12 ராசிகள் 9 நட்சத்திரங்களை பின்புலத்தில் கொண்ட 4 ராசிகளால் ஆன 3 தொகுப்புகளாக அல்லது திரிகோண ராசிகளாக பிரிக்கப்படலாம். அதாவது, எந்த ராசிக்கும் அதன் 1, 5, 9 என்னும் திரிகோண ராசிகளை நோக்கினால் அவை ஒரே நட்சத்திர அதிபதிகளை கொண்டதாகவும், ஒரே பஞ்ச பூத தத்துவத்திலும் அல்லது திசை அமைப்பிலும் இருப்பதை பார்க்கலாம். இது தசா புக்தி என்ற கட்டுமானத்திலும் ஒரே மாதிரியாகவே வரும்.

இங்கே ஒரே மாதிரியான 3 ராசிகள் கணக்கில் வருகின்றன. இந்த அமைப்பு புள்ளியியல் மேன்மையை அதிகரிக்கும் பரிமாண சுருக்கம் செய்ய நல்ல ஒரு வாய்ப்பை வழங்குகிறது. இது போன்ற பரிமாண சுருக்க அமைப்பு, பாவகம் மற்றும் லக்கினம் இல்லாத நாடி முறைகளுக்கும் மிகவும் ஆதாரமான கட்டுமானம் ஆகும். அது பற்றி நாடி முறை பற்றிய பாகத்தை நான் பின்னொரு நாளில் எழுதும்போது விரிவாக பார்க்கலாம்.

இந்த திரிகோண சுருக்கம் என்ற பரிமாண சுருக்க முறையை பயன்படுத்துவதன் மூலம் நவீன புள்ளியியல் வருவதற்கு நெடும்காலம் முன்னரே மகரிஷி பராசரர் இப்படியொரு மிகவும் மேன்மையான கணித உத்தி நமது பாரம்பரியத்தில் பயன்பாட்டில் உள்ளதை உறுதிப்படுத்துகிறார். எப்படிப்பட்ட புள்ளியியல் கணித பாரம்பரியம் நமக்கு உள்ளது என்பதை நாம் மறக்கலாகாது நண்பர்களே! நமது ஞானிகளை கண்ணை மூடிக்கொண்டு நம்பலாம் என்பதற்கு இந்த கட்டுமானம் எல்லாம் ஒரு உதாரணம் எனலாம்.

இந்த புள்ளியியல் அடிப்படை விளங்கிவிட்டால் இந்தப் படிநிலையின் கணிதம் செய்வது சுலபமான வேலைதான். கணிதம் எப்படி செய்வது நம் அறிவின் பிரச்சினை அல்ல. ஏன் செய்கிறோம், அதன் பின்னே உள்ள கணித மேன்மை என்ன என்பதுதான் நம் பிரச்சினை. சோதிடத்தில் பல இடங்களில் நமக்கு சொல்லப்பட்டதன் பின்னே உள்ள புள்ளியியல் கணித மேன்மை புரியாமலேயேதான் கடந்து போய் கொண்டிருக்கிறோம். ☹

திரிகோண சுருக்கம் – கணித முறை

இது ராசிகள் என்ற பரிமாணத்தின் சுருக்கம் ஆகும். இப்போது இந்தப் படிநிலையில் என்ன விதமாக கணக்கீடு செய்யப்படுகிறது என்று பார்ப்போம். 12 ராசிகள் என்ற பரிமாணத்தை 1/3 ஆக குறைத்து 4 வித ராசிகள் என்ற அளவில் சுருக்கும் உத்தி இதுவாகும். இதன் வரைவு கணிதம் மிகவும் எளிமையானது. ஒவ்வொரு கிரகத்தின் பிரஸ்தார அஷ்டகவர்க்கத்தையும் எடுத்துக்கொண்டு, அவற்றில் இருந்து இந்த சுருக்கத்தை மேற்கொள்ள வேண்டும்.

கீழ்கண்ட ராசிகள் ஒரேவித திசை அல்லது தத்துவத்தால் ஆனவை:

1. மேஷம், சிம்மம், தனுசு: கிழக்கு / நெருப்பு
2. ரிஷபம், கன்னி, மகரம்: தெற்கு / நிலம்
3. மிதுனம், துலாம், கும்பம்: மேற்கு / காற்று
4. கடகம், விருச்சிகம், மீனம்: வடக்கு / நீர்

இதன்படி, 3 ராசிகளிலும் உள்ள குறைந்தபட்ச பிரஸ்தார அளவை எடுத்துக்கொண்டு அதனை, தனித்தனியாக மூன்று ராசிகளில் இருந்தும் கழித்து இந்த மதிப்பை பெறவேண்டும் (pare down the common minimum value from similar Rasi groups, by group). இது ஒரே விதமான ராசிகளில் பெறும் தனித்துவமான பலத்தை குறிக்கும்.

உதாரணம்: மேலே உள்ள சந்திரனின் பின்ன வர்க்க அட்டவணையில் கடகம் = 5, விருச்சிகம் = 7, மீனம் = 5 என சந்திரன் தரும் பரல்கள் அமையும். இம்மூன்றின் குறைந்தபட்ச அளவு ஆகிய 5 ஐ மூன்று ராசிகளில் இருந்தும் கழிக்க வலது புறம் உள்ள அட்டவணை கிடைக்கும்.

மேலும், இதன்படி பார்த்தால், மூன்று ராசிகளிலும் ஒரே மதிப்பு இருந்தால், சுருக்கத்துக்கு பின்னர் அவை மூன்றும் 0 மதிப்பை பெறும். அதுவே, ஏற்கனவே ஒரு ராசியில் 0 பின்ன அஷ்டக வர்க்க பரல்கள் இருந்தால், 3 ராசிகளிலும் 0 வை கழிக்க ஏற்கனவே உள்ள மதிப்புகளே சுருக்கத்துக்கு பின்னரும் கிடைக்கும்! 

அஷ்டக வர்க்கம் குறித்த புத்தகங்களில் இதனையே வேறுமாதிரி விரித்து கொடுத்துள்ளனர். நான் அவற்றை இன்னும் எளிமைப்படுத்தியுள்ளேன். அவ்வளவே! 😊

மேலே சந்திரனுக்கு காட்டியதுபோல, ஏழு கிரகங்களுக்கும் இந்த அட்டவணை தனித்தனியே கணக்கிட வேண்டும். பின்னர் ராசி அளவில் அந்த மதிப்புகளை கூட்டினால், திரிகோண சுருக்கம் பெற்ற சர்வ அஷ்டக வர்க்கம் கிடைக்கும். அஸ்ட்ரோவிஷனின் LifeSign, ஸ்ரீ ஜோதி ஸ்டார் புரோ 9, GK Astro போன்ற மென்பொருட்களில் இந்த அட்டவணைகள் கிடைக்கும்.

இப்போது அஷ்டக வர்க்கத்தின் அடுத்த படிநிலைக்கு செல்வோம்.

அஷ்டவர்க்கம் படிநிலை 5: ஏகாதிபத்திய சுருக்கம் அல்லது ஏகாதிபத்திய சோதனை

இந்திய சோதிட கட்டுமானத்தில் சூரியன், சந்திரன் தவிர்த்த பிற ஐந்து கிரகங்களுக்கும் (புதன், சுக்கிரன், செவ்வாய், குரு மற்றும் சனி) இரண்டு ராசிகள் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளன. இந்தப் படிநிலையில், ஒரு கிரகத்தின் இரண்டு ராசிகளில் பொதுவான பரல்களை சுருக்க இந்த சோதனை செய்யப்படுகிறது.

முதலில் திரிகோண சுருக்கத்தை செய்தபின் கிடைக்கும் அட்டவணைகளை அடிப்படையாக வைத்து ஏகாதிபத்திய சுருக்கம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. கிரகம் நின்ற ராசிக்கு அதிக முக்கியத்துவம் தரப்படும் வகையில் இந்த கட்டுமானம் அமைந்துள்ளது. கிரகம் இல்லாதபோது ஆதிபத்திய ராசி முக்கியத்துவம் பெறும்.

இதன் கணக்கீட்டு விதிமுறைகள் சற்று விரிவானவை. அவை பின்வருமாறு. இவற்றை இன்றைய காலத்தில் தரவு திறனாய்வில் நாம் பயன்படுத்தும் விதிகள் (scenarios involving different business rules) போல பராசரர் விரிவாக விளக்குகிறார்.

விலக்கங்கள் (Exceptions):

1. சிம்மம், கடகம் ஆகிய ஒரு ஆதிபத்திய வீடுகளில் உள்ள ரேகைகளுக்கு இந்தச் சுருக்கம் செய்யப்படக் கூடாது.
2. ஒரு கிரகத்தின் இரண்டு வீடுகளிலும் திரிகோண சோதனைக்குப் பின்னர் 0 மதிப்பு இருந்தால், அந்த ராசிகளுக்கு இந்த சுருக்கம் தேவையில்லை (அங்கே மேலும் சுருக்க ஒன்றுமில்லை 😊).
3. ஒரு கிரகத்துக்கு ஒதுக்கப்பட்டுள்ள இரண்டு ராசிகளிலும், பிறந்த ஜாதகத்தில் எதாவது ஒரு கிரகம் இருந்தால் இந்த சுருக்கம் செய்யத் தேவையில்லை. அதாவது கிரகம் இருந்தால், அதற்கே அதிக முக்கியத்துவம் தரப்பட வேண்டும்.

இந்த விலக்கங்களுக்கு பிறகு நமக்கு சில தனித்துவமான ராசி-கிரக நிலைகள் கிடைக்கின்றன. அவற்றின் மீதே  இந்த ஏகாதிபத்திய பரிமாண சுருக்கம் செய்யப்படவேண்டும். அவற்றை பராசரர் விரிவாக விளக்குகிறார்.

விதிகள் (Rules):

1. இரண்டு ராசிகளிலும் எதுவும் கிரகம் இல்லாத போது மற்றும் இரண்டு ராசிகளும் வேறு வேறு அளவிலான பரல்கள் (>0) இருந்தால், அவற்றில் குறைவான மதிப்பை இரண்டிலும் வைத்துக்கொண்டு எச்சத்தை நீக்க வேண்டும் (keep common minimum and throw away excess value). இந்த இடத்தில் குறைந்தபட்ச மதிப்பே எஞ்சி நிற்கும். அதுவே அந்த இரண்டு ராசிகளில் ஒன்றில் 0 மதிப்பு வந்துவிட்டால், இந்த சுருக்கம் அந்த ராசிகளுக்கு தேவையில்லை.
2. ஒரு கிரகத்துக்கு ஒதுக்கப்பட்ட இரண்டு ராசிகளில் ஒன்றில் கிரகம் (அல்லது கிரகங்கள் இருந்து), மற்றதில் கிரகம் இல்லாமல் இருந்தால், மற்றும் அந்த இரண்டு ராசிகளில், கிரகம் நின்ற ராசியில் பரல்கள் குறைவாக இருந்தால், கிரகம் நின்ற ராசியில் உள்ள பரல்களை அப்படியே வைத்துக் கொண்டு, அந்த குறைந்தபட்ச மதிப்பை கிரகம் இல்லாத, அதிக மதிப்பு பெற்ற ராசியின் அளவில் இருந்து கழித்து, மீதமுள்ள மதிப்பை அந்த இடத்தில் குறிக்க வேண்டும். இந்த விதியில், கிரகம் இருந்தால், ஏகாதிபத்திய சுருக்கத்தில், அந்த வீட்டின் மதிப்பு குறையக் கூடாது என்பதை பராசரர் உணர்த்துகிறார்.
3. அதுவே, மாறுதலாக அந்த இரண்டு ராசிகளில், கிரகம் நின்ற ராசியில் பரல்கள் அதிகமாக இருந்து, கிரகம் நின்ற ராசியில் 0 அல்லது அதைவிட அதிக பரல்கள் இருந்தால், கிரகம் இல்லாத ராசியில் உள்ள மதிப்பை 0 ஆக்க வேண்டும் என்று பராசரர் விதிக்கிறார்.
4. இரண்டு ராசிகளிலும் கிரகம் இல்லாமல் இருந்து, அந்த இரு ராசிகளும் ஒரே மதிப்பை பெற்றாலும், அவற்றின் மதிப்புகள் 0 ஆக குறைக்கப்பட வேண்டும். அதாவது, பொதுவான மதிப்பை இரண்டிலும் இருந்து நீக்க வேண்டும்.

இது ஒரு உதாரணம் மூலம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது.

இந்த படத்தில், ஒரு ராசிகட்டமும் (1), அதற்குரிய வலது புறத்தில் சந்திரனின் பின்ன அஷ்டக வர்க்கமும் (2) கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அட்டவணை 3இல் திரிகோண சுருக்கம் செய்த பின் வரும் அட்டவணை தரப்பட்டுள்ளது. அதன் வலது புறத்தில் அட்டவணை 4இல் ஏகாதிபத்திய சோதனை முடிந்த பின் வரும் அளவுகள் தரப்பட்டுள்ளன.

மேலே குறிப்பிட்ட விதிகளின் அடிப்படையில் இவற்றை விளங்கிக்கொள்ள்ளவும். எடுத்துக்காட்டாக அட்டவணை 3இல், புதனின் ஆதிபத்திய ராசிகளை எடுத்துக்கொண்டால், மிதுனம், மற்றும் கன்னி ராசிகளில் 2, 0 என்ற மாறுபடும் அளவுகள் இருப்பதால், அவை அட்டவணை 4 இல் அப்படியே வைத்துக்கொள்ளப்பட்டுள்ளன. இது குருவின் தனுசு மற்றும் மீன ராசிகளிலும் பிரதிபலிப்பதை பாருங்கள்.

அதுவே அட்டவணை 3இல் செவ்வாயின் மேஷம் (1) மற்றும் விருச்சிகத்தை(4) கவனிக்கவும். கிரகம் இல்லாத விருச்சிகத்தில் அதிக மதிப்பு உள்ளது. எனவே, கிரகம் உள்ள ராசியில் உள்ள 1 என்ற மதிப்பை கிரகம் இல்லாத விருச்சிகத்தின் 4இல் கழித்தால் வரும் 3 என்ற அளவு, ஏகாதிபத்திய சோதனைக்கு பின்னர் தரப்பட்டுள்ளது. 

அடுத்து, சனியின் வீடுகளை கவனிக்கவும். இரு வீடுகளிலும் கிரகம் உள்ளதால், ஏகாதிபத்திய சுருக்கம் இங்கே செய்யப்படவில்லை என்பதை அறியலாம்.

இந்த ராசிகளில் கிரகம் எதுவும் இல்லாத நிலையில், பொதுவான பலத்தின் மீது இந்த பரிமாண சுருக்கம் அடுத்த படிநிலையாக மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

புள்ளியியல் ரீதியாக திரிகோண, ஏகாதிபத்திய சுருக்கங்கள் ஒரு முக்கிய இடைநிலை கணக்கீடுகளாகவே (intermediate steps in calculation) பார்க்கப்பட வேண்டும். இவற்றின் அடுத்த படிநிலையாகிய சுத்த பிண்டம் என்பது இவை இரண்டின் இறுதி விளைபொருளாக அமையும். இப்போது அந்த இறுதி படிநிலை பற்றி பார்க்கலாம்.

அஷ்டவர்க்கம் படிநிலை 6: சுத்த பிண்டம் / சோத்யபிண்டம் அல்லது பிண்ட சோதனை

அஷ்டக வர்க்க கணித முறையில் இது இறுதி படிநிலை ஆகும். ஏகாதிபத்ய சோதனை செய்தபின் வரும் அட்டவணையின் மீது இந்தக் கணக்கீடு செய்யப்படவேண்டும். இது கிரகமானம் அல்லது கிரக குணாகரம் மற்றும் ராசிமானம் அல்லது ராசி குணாகரம் என்ற இரு கூறுகளால் ஆனது.

ராசி மற்றும் கிரகம் ஆகியவை இரண்டும் இந்த அஷ்டக வர்க்க முறையின் இரு பரிமாணங்கள் என்பதால், ஏகாதிபத்திய சோதனை முடிவில் வரும் ரேகைகளின் எஞ்சிய மதிப்புகளை இந்த பரிமாணங்களின் அடிப்படையில் இறுதியாக மதிப்பு பெருக்கம் செய்து ராசி குணாகரம் மற்றும் கிரக குணாகரம் ஆகிய இரண்டும் கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும் என்று பராசரர் வரையறை செய்கிறார்.

மேலும் இவை இரண்டின் கூட்டுத்தொகை சோத்திய பிண்டம் அல்லது சுத்த பிண்டம் என்ற தொகுத்த மதிப்பாக கணக்கிடப்படுகிறது. இந்த சோத்திய பிண்டம் மதிப்பின் அடிப்படையில் ஆயுள் கணிதம் தொடர்பான பலன்களை சொல்ல முடியும் என்று பராசரர் வழி காட்டுகிறார். இவற்றை எவ்வாறு செய்வது என்று இப்போது பார்ப்போம்

அஷ்டகவர்க்கம் படிநிலை 6a. சோத்திய பிண்டம் –  கிரக குணாகரம் கணக்கீடு

இந்தக் கணிதம் ஒவ்வொரு கிரகத்தின் பிரஸ்தார அஷ்டகவர்க்கத்தின் மீதும் திரிகோண மற்றும் ஏகாதிபத்திய சோதனை செய்த பின்னர் வரும் எஞ்சிய ரேகை மதிப்புகளை அடிப்படையாக வைத்து செய்யப்பட வேண்டும். பராசரர் ஒவ்வொரு கிரகத்துக்கும் குறிப்பிட்ட மதிப்பு பெருக்கிகளை (Multiplier) வரையறை செய்துள்ளார். இந்த மதிப்புகளை அவர் எவ்வாறு தருவித்தார் என்பது நமக்கு தெரியவில்லை. இந்த மதிப்புகளின் பின்னே ஒரு வலுவான கணித கட்டுமான ரீதியிலான காரணம் இருக்கவேண்டும் என்பது மட்டும் திண்ணம். அஷ்டகவர்க்க கணித பரிமாணங்கள் முழுதும் நமக்கு புரியும்போது இந்த ஒதுக்கீட்டின் ரகசியம் நமக்கு புரியக்கூடும்.

இந்தப் படிநிலையில், ஒவ்வொரு கிரகத்துக்கும் அவர் தரும் பெருக்கல் மதிப்புகள் (Multiplier values) கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த மதிப்புகளின் பரவல் 5 முதல் 10 வரை உள்ளது. இந்த அட்டவணையை நோக்கினால், அவர் குரு கிரகத்துக்கு சூரியன், சந்திரன், புதன் மற்றும் சனியை விட இருமடங்கு மதிப்பு கொடுத்திருப்பது தெரியும். மேலும் செவ்வாயும், சுக்கிரனும் சற்று கூடுதல் மதிப்புகளை பெறுகின்றன.

கிரக குணாகரம் – எப்படி கணக்கிடுவது?

நாம் மேலே பார்த்த உதாரண ராசி கட்டத்தின் அடிப்படையில் கணக்கீடு செய்யப்பட்ட சந்திரனின் பிரஸ்தார அஷ்டகவர்க்கம் கட்டத்தை கருதுவோம். இந்தக் கட்டத்துக்கு கிரகமானம் கண்டுபிடிக்கும் கணக்கீடு கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது. இங்கே சூரியன் நின்ற ராசியில் ஏகாதிபத்திய சோதனைக்கு பிறகு 3 பரல்கள் உள்ளன. அதனை சூரியனின் கிரக மதிப்பு பெருக்கியாகிய 5 ஆல் பெருக்க நமக்கு 15 என்ற மதிப்பு கிடைக்கும். அதுபோல ஒவ்வொரு கிரகத்தின் மதிப்பு பெருக்கியை கிரகம் நின்ற ராசியில் உள்ள சுருக்கம் செய்யப்பட்ட பரல்களால் பெருக்க வேண்டும். பின்னர் இந்த தனித்தபெருக்கல் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை கண்டுபிடிக்க வேண்டும். அந்த அட்டவணை கீழே உள்ளது போல் அமையும்.

மேலே நாம் சந்திரனுக்கு கண்டுபிடித்தது போல, ஒவ்வொரு கிரகத்தின் பிரஸ்தார அஷ்டகவர்க்கம் கட்டத்துக்கும் ஏகாதிபத்திய சுருக்க பரல்கள் கண்டுபிடித்து அட்டவணைப்படுத்த வேண்டும்.

அஷ்டகவர்க்கம் படிநிலை 6b. சுத்த பிண்டம் – ராசி குணாகரம்

பராசரர் சுத்த பிண்டத்தின் இரண்டாம் கூறாகிய ராசிமானத்தில், நாம் மேலே பார்த்த கிரகமானத்தை போல தனிப்பட்ட ராசிகளுக்கு குறிப்பிட்ட பெருக்கும் மதிப்புகளை (Multiplier) வரையறை செய்கிறார். அவற்றை கீழே உள்ள அட்டவணையின் வலது பக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

இதனை உற்று நோக்கினால், மீனம், கும்பம், ரிஷபம் மற்றும் சிம்மம் அதிக மதிப்புகளை உடைய ராசிகளாக இருப்பதை பார்க்கலாம். இந்த அட்டவணையில் சந்திரனுக்கு உரிய கடகத்துக்கு மிகவும் குறைவான 4 என்ற அளவு மட்டுமே ஒதுக்கப்பட்டு உள்ளது.

இந்த மதிப்புகளின் விரவல் (distribution) 4 முதல் 12 வரை உள்ளது. சுத்த பிண்டம் என்ற தொகுத்த அளவின் அடிப்படையில் வைத்து சொல்லப்படும் ஆயுள் சார்ந்த கணிதம் செய்யும் முறைகளின் அடிப்படையில் பார்க்கும்போது, இந்த மதிப்புகளின் வேறுபாட்டில் நேரடியான பொருள் எதுவும் இருப்பது போல எனக்கு தோன்றவில்லை. நமக்கு இந்த முறையில் நல்ல ஆழ்ந்த கணித புரிதல் வரும்போது, ஏன் இப்படி மதிப்புகள் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளன என்பது விளங்கக்கூடும்.

என் அனுமானத்தின்படி, இவ்வாறு மாறுபடும் மதிப்பு பெருக்கும் எண்கள் (Multiplier) ஏன் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளன என்பதன் பின்னே ராசிகள் சார்ந்த பலம் கூறுகள் காரணமாக இருக்கலாம். இதுபோன்ற எடை கட்டிய மதிப்பு பெருக்கம் (Weighted Scaling approach) என்ற முறை புள்ளியியலில் நடைமுறையில் இருப்பதுதான். இருப்பினும் அதன் பரிமாண ரீதியான காரணங்கள் நமக்கு தெரியவில்லை என்பதை நாம் இங்கே ஒப்புக்கொள்ள வேண்டும். இது சரியாக புரிந்துவிட்டால், ஒருவேளை ஆயுள் கணிதத்தில் ஏன் இந்த முறை சரியாக வருவதில்லை என்பதுகூட விளங்கக் கூடும்.

ராசி குணாகரம் – எப்படி கணக்கிடுவது?

நாம் மேலே பார்த்த உதாரண ராசி கட்டத்தின் அடிப்படையில் கணக்கீடு செய்யப்பட்ட சந்திரனின் பிரஸ்தார அஷ்டகவர்க்கம் கட்டத்தை கருதுவோம். இந்தக் கட்டத்துக்கு ராசிமானம் கண்டுபிடிக்கும் கணக்கீடு கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது.

இங்கே மேஷ ராசியில் ஏகாதிபத்திய சோதனைக்கு பிறகு சந்திரனுக்கு 1 பரல்கள் உள்ளன. அதனை மேஷத்தின்  ராசி மதிப்பு பெருக்கியாகிய 7 ஆல் பெருக்க நமக்கு 7 என்ற மதிப்பு கிடைக்கும். அதுபோல ஒவ்வொரு ராசியின் குறிப்பிட்ட மதிப்பு பெருக்கியால் பரல்கள் உள்ள ராசியின் மதிப்புகளை பெருக்கி பின்னர் அவை யாவற்றையும் கூட்டி இந்த மொத்த கூட்டுத்தொகையை கண்டுபிடிக்க வேண்டும். அதுவே அந்த கிரகத்தின் ராசிமானம் ஆகும். இதுபோல் மொத்தமுள்ள 7 கிரகங்களின் ஏகாதிபத்திய சோதனை கட்டத்துக்கும் ராசிமானம் கண்டறிய வேண்டும்.

அஷ்டகவர்க்கம் படிநிலை 6C. சுத்த பிண்டம் / சோத்திய பிண்டம் கணக்கீடு

கிரக குணாகரம் மற்றும் ராசி குணாகரம் ஆகிய இரண்டும் ஒவ்வொரு கிரகத்தின் பிரஸ்தார அஷ்டக வர்க்கத்தின் மீதும் திரிகோண மற்றும் ஏகாதிபத்திய சுருக்கங்களை செய்தபின் வரும் மதிப்புகளின் மீது கணக்கிடப்பட வேண்டும். அவற்றின் திரண்ட கூட்டுத்தொகை சுத்த பிண்டம் அல்லது சோத்திய பிண்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது இறுதியாக கிரகம் அளவில் காட்சிப்படுத்தப்படுகிறது.

உதாரண ஜாதகத்துக்கு ஜெகந்நாத ஹோரா மென்பொருளில் இருந்து மேலே நாம் பார்த்த மாதிரி ஜாதகத்தின் சுத்த பிண்ட அளவுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

இந்த மென்பொருளில் ஏகாதிபத்திய சுருக்கத்தில் கணக்கீட்டில் சிறு அளவில் மாறுதல் வருகிறது. எனவே சந்திரனின் சுத்த பிண்ட அளவு நான் கொடுத்த உதாரண ஜாதகத்துடன் சற்று பொருந்தி வரவில்லை என்பதை கவனத்தில் கொள்க.

கூடுதல் தகவல்கள்: GK Astro மென்பொருளிலும் இந்த சுத்த பிண்ட மதிப்புகள் மதிப்புகள் கிரகம் வாரியாக கிடைக்கும். அஸ்ட்ரோவிஷனின் LifeSign 14 மென்பொருளில் இந்த சுத்த பிண்ட மதிப்புகள் அட்டவணை தரப்படவில்லை.

இதனை அடுத்து இந்த சுத்த பிண்டம் மதிப்புகளின் அடிப்படையில் முக்கியமாக ஜாதகர் மற்றும் அவரின் குடும்ப உறவுகளின் ஆயுள் கணிதம் பற்றியும் அவர்களுக்கு எப்போது இறப்பு அல்லது அதற்கு சமமான கண்டங்கள் மற்றும் சிரமங்கள் ஏற்படும் என்பது பற்றியும் மகரிஷி பராசரர் மிகவும் விரிவாக பலன்களை சொல்லியுள்ளார் (அத்தியாயம் 73 – பக் 573 -577).

இதுவரை நாம் பார்த்ததோடு அஷ்டகவர்க்க முறையின் கணிதம் முடிந்துபோகிறது. இதனை அடுத்து ஒவ்வொரு தனித்த அஷ்டகவர்க்க கூறின் அடிப்படையிலும் எவ்வாறு பலன்கள் அமையும் என்பதை பராசரர் விளக்குகிறார். இந்த தொடரின் நோக்கம் சோதிட கட்டுமானங்களின் புள்ளியியல் பின்னணியை அடையாளம் காண்பிப்பது மட்டுமே என்பதால் நான் பலன் கூறும் பகுதிக்குள் செல்லாமல் இந்தக் கட்டுரையை இங்கே நிறைவு செய்வது சரியாக இருக்கும் என்று நினைக்கிறேன்.

அஷ்டகவர்க்கம் தற்கால பயன்பாடு: சில கூடுதல் தகவல்கள்

அஷ்டகவர்க்கம் கிரகம் மற்றும் ராசி என்ற இருபரிமாண அளவிலான பலன்களின் தொகுப்பு என்பதை அறிந்தோம். கோட்சாரத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட கிரகம் பிறந்த ராசியில் அதிக பரல் உள்ள ராசியின் மீது பயணிக்கும்போது அது நல்ல பலன்களை தரும் என்ற ரீதியில் இந்த முறை மிகவும் எளிமையாக பலன்கூறும் வண்ணம் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது என்றும் அறிந்தோம்.

கக்ஷயம் பயன்பாடு:

இன்றைய காலத்தில் இந்த முறையில் கூடுதலாக பல விஷயங்கள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது என்பதை சோதிடர்கள் பலரும் அறிவோம். முக்கியமாக வருட கிரகங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட ராசியில் பயணிக்கும்போது அவை எப்போது பலன்களை தரும் என்ற கேள்வி எழுகிறது. உதாரணமாக, சனி ஒரு ராசியில் 2.25 ஆண்டுகள் பயணிக்கும்போது அவர் எப்போது தனது பலன்களை அந்தக் காலகட்டத்தில் எப்போது தருவார் என்ற கேள்வி மிகவும் முக்கியத்துவம் பெறுகிறது.

இதன் பொருட்டு கக்ஷயம் அல்லது கக்ஷணம் என்ற முறை கூடுதல் பயன்பாட்டில் உள்ளது. இது ஒவ்வொரு ராசியையும் பகுதிகளாக பிரித்து அதற்கு தசா-புக்திகளை பகுத்து அதன் அடிப்படையில் எப்போது பலன் நிகழும் என்று சொல்வதாகும். இதில் சொல்லிக்கொடுக்கும் ஆசிரியர்களை பொறுத்து சில மாறுபடும் அணுகுமுறைகள் உள்ளன.

பலரும் நடைமுறையில் இந்த அடிப்படையில் சொல்லப்படும் பலன்கள் நன்றாக ஒத்து வருவதாக சொன்னாலும், பாவகம் / தசா புக்தி சார்ந்து சொல்லப்படும் பலன்கள் அஷ்டகவர்க்க முறையோடு கட்டுமான அளவில் பொருந்திப் போகாது என்பதே எனது புரிதல் ஆகும். இதில் ஆட்சேபனை இருப்பவர்கள் கட்டுமான கணித ரீதியாக இதனை விளக்கினால் அனைவருக்கும் பயன்படும். மாற்று கருத்து இருப்பவர்கள் பின்னூட்டம் இடவும்.

அதே நேரம், தசா-புக்தி சார்ந்து, சில ஆயுள் கணிதம் சார்ந்த அஷ்டகவர்க்க பலன்களை பராசரர் சொல்லி இருக்கிறார் என்பதையும் இங்கே நேர்மையாக பதிவிட வேண்டி இருக்கிறது. அதுபோன்ற நிலையில் அஷ்டகவர்க்கம் தசா புக்தி என்ற அமைப்பிற்கு கூடுதலாக பலம் கூட்டுகிறது (complimentary) என்று எடுத்துக்கொள்வது சரியாக இருக்கும் என்று நான் புரிந்து கொள்கிறேன்.

அஷ்டகவர்க்கம் இரு ஜாதக கூட்டு விளைவு பயன்பாடு:

ஒரு தனிப்பட்ட ஜாதகங்களின் பிரஸ்தார அஷ்டகவர்க்க அட்டவணையை ஒன்றன் மீது ஒன்று பொருத்திப் பார்ப்பதன் மூலம் அந்த இரு நபர்களுக்குள் உறவு எப்படி இருக்கும் என்று சொல்லும் ஒரு முறை நடைமுறையில் உள்ளது. இது ஒவ்வொரு ஜாதகத்தையும் அடிப்படையாக வைத்து மற்றவரின் ஜாதகத்துடன் பொருத்திப் பார்த்து கணக்கிடப்பட வேண்டும். உதாரணமாக, ஒருவரின் சந்திரன் பரல்களை மற்றவரின் ராசி கட்டம் மீது பொருத்தும்போது, அடுத்தவரின் சந்திர ராசியில் சந்திரன் பெறும் பரல்கள் எண்ணிக்கை அடிப்படையில் மன இசைவுகளை கணிக்கலாம்.

இணையதள வாத்தியார் V சுப்பையா அவர்கள் இதுபற்றி தனது அஷ்டகவர்க்கம் பற்றிய புத்தகத்தில் விவரித்து உள்ளார். இதன் அடிப்படையில் திருமண பொருத்தம் போடுவதும், கூட்டாளிகளை சேர்த்துக் கொள்வதும் செய்யப்படலாம் என்றும் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. நானும் கூட சிலகாலம் இந்த முறையை இரு ஜாதக கூட்டு விளைவை கண்டறிய பயன்படுத்தியதுண்டு. தற்போது கூடுதல் தகவலுக்காக மட்டும் பயன்படுத்துகிறேன்.

இதுபோன்ற நடைமுறை பயன்பாடு நூதனமாக இருந்தாலும், அவை அஷ்டகவர்க்கம் முறையின் கட்டுமான எல்லைக்குள் வராது என்பதே எனது புரிதலாகும். இவற்றை சற்று எல்லை மீறிய பயன்பாடாகவே (off-label usage) நாம் கொள்ள வேண்டும்.

கட்டுரை சுருக்கம்

அஷ்டகவர்க்கம் ராசி மற்றும் கிரகம் என்னும் இரு பரிமாண அளவிலான பலன் கூறும் முறை ஆகும். பாவகம், தசா-புக்தி போன்றவை இதில் கிடையாது. பிறந்தகால ஜாதக அடிப்படையில் ராசிகள் பெறும் ரேகை/பரல் மதிப்புகள் கணக்கிடப்பட்டு, கோட்சார கிரக அடிப்படையில் அந்தந்த கால பலன்கள் உரைக்கப்படுகின்றன என்பது இதன் சுருக்கமான கட்டுமானம் ஆகும்.

இந்த முறையின் கணிதத்தில், 6 படிநிலைகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு படிநிலையில் வரும் மதிப்புகளை கொண்டும் விதவிதமான பலன்கள் சொல்லப்படலாம். சில நவீன கால பயன்பாடுகளும் இந்த பாகத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன. இந்தத் தொடரில் நாம் பார்த்த அஷ்டகவர்க்கம் என்ற இருபரிமாண முறையின் புள்ளியியல் ரீதியான விளக்கங்கள் இந்த முறையின் மீது உங்களுக்கு நம்பிக்கையை கூட்டி, உங்களுக்கு அஷ்டகவர்க்கத்தை ஒரு புதிய மேம்பட்ட பார்வையில் விளங்க உதவி இருக்கும் என்று நான் நம்புகிறேன்.

இதுவரை இந்தக் கட்டுரையை முழுமையாக படித்தமைக்கு நன்றி! மற்றொரு இந்திய சோதிட கட்டுமானத்தின் புள்ளியியல் அலசலோடு விரைவில் சந்திப்போம். தொடர்ந்து படித்து வாருங்கள்.

மேலும் வளரும்!… 🙏🌷🌸🌹🌺🌻🌼